常见三角函数最值及解法.docVIP

小专题 三角函数最值的常见题型及解法 求三角函数的最值,主要是利用正弦函数,余弦函数的有界性,一般通过三角变换划归以下几种类型处理 一、 一次函数型  = 1 \* GB2 ⑴ y=asinx+b 设t=sinx t∈[-1 ,1],则原函数化为一次函数 y=at+b在闭区间[-1 ,1]上最值.ymax=a+b ,ymin=?a+b 专项练习  = 1 \* GB3 ① 已知y=3sinx?1 , ymax=____ , ymin=____  = 2 \* GB3 ② 设函数y=acosx+b的最大值为3,最小值为?2,则a=___ ,b=___.  = 2 \* GB2 ⑵ y=asinx+bcosx+c 利用辅助角公式转化为y=a2+b2sin(x+φ)+c ,再求最值. 二、 二次函数型  = 1 \* GB2 ⑴ y=asin2x+bsinx+c 设t=sinx t∈[-1 ,1],则原函数化为二次函数 y=at2+bt+c在闭区间[-1 ,1]上最值问题  = 2 \* GB2 ⑵ y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c 设t=sinx±cosx t∈[-2 ,2] , sinxcosx=±t2-12 ,则原函数化为二次函数 y=a2t2+bt+c? a2在闭区间[-2 ,2]上的最值问题. 专项练习  = 1 \* GB3 ① 函数y=sin2x+2cosx?3的最大值为____ ,最小值为____  = 2 \* GB3 ② y=2sinxcosx?3(sinx-cosx)?2的最大值为____ ,最小值为____ 三、 分式型  = 1 \* GB2 ⑴ y=asinx+bcsinx+d 或y=acosx+bccosc+d (分子分母函数名称一致) 基本方法:反解sinx或cosx ,再利用正弦函数或余弦函数的有界性求最值.  = 2 \* GB2 ⑵ y=asinx+bccosx+d  = 1 \* GB3 ①代数法: 去分母得 y(ccosx+d)= asinx+b , 移项得 asinx?yccosx=b?dy 利用辅助角公式得 a2+y2c2sin(x+φ)=b?dy 解得 sin(x+φ)=b-dya2+y2c2 进一步利用sin(x+φ)≤1建立不等式 b-dya2+y2c2≤1 可求得y的取值范围  = 2 \* GB3 ②几何法(斜率法): 原函数可化为y=ac?sinx+bacosx+dc ,令k=sinx+bacosx+dc,则问题转化为单位圆x2+y2=1上的动点(cosx ,sinx)与定点(? dc ,-ba)连线的斜率问题.设过点(? dc ,-ba)的直线为y+ba=kx+dc ,联立x2+y2=1y+ba=k(x+dc )此时既可用点线距离法求k范围,也先消元由?≥0求得k范围,再 ac 倍求得y的范围. 或将y也可看成点(?d,?b) 与点(ccosx ,asinx)连线的斜率,进而将y看做点(?d,?b)与椭圆x2c2+y2a2=1上任意一点连线的斜率.进一步写出直线方程,消元由判别式?≥0求得y的范围. 专项练习  = 1 \* GB3 ① y=sinx+1sinx+2 的值域为_____  = 2 \* GB3 ② y=sinxcosx-2 的值域为____