2-4极限的运算.pptVIP

三、用等价无穷小计算极限 定理2-6 如果在自变量的同一变化过程中， 且 存在，则 证 定理２-6表明，求两个无穷小之比的极限，可用 它们的等价无穷小之比来代替． 因此，可以得到一批等价无穷小： 由于 当 时， 例7 求 ． 解 当 时， 例8 求 解 当 时， 所以： 注意 只有对乘积或商中的无穷小才可用等价无穷小 例9 求 解 因为 当 时， 来代替，否则将会出错． 练习：1.求下列极限： * 2.4 极 限 的 运 算 一、极限的运算法则 主要内容 教学要求 一、掌握极限的四则运算法则 二、会用两个重要极限求极限 二、两个重要极限 三、用等价无穷小计算极限 1. 极限与无穷小之间的关系 2．无穷小的性质 （1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小． （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 时的无穷小, 其中 是 复 习 一、极限的运算法则 定理2-5 如果 ， ， （1） （2） 定理中的（1）、（2）可推广到有限个情形 ． 则 （3）若 定理2-5中的（2），还有如下推论: （1） （2） 推论 若 ， 为常数， 则 注意 上述法则都只有在 、 同时存在的条件下才能成立． 例1 求 解 求极限举例: （一）多项式函数的极限 —代入法、无穷小与无穷大的关系 （代入法） 例2 求 ． 解 这个极限不能应用定理2-5中的（１）． 但因为 根据无穷小与无穷大的关系，得 小结：多项式函数在 时，其极限为无穷大。 例3 求 解 因为 所以 （分母的极限不为零） （—代入法） （二）分式函数的极限（有理分式函数，根式分式函数） 例4 求 解 当 时， 此极限是 型． 用 同除分子和分母，然后求极限，得 例5 求 解 当 时， 此极限是 型． 由上例的结果，根据无穷小与无穷大的关系，得 例6 求 解 当 时， 此极限是 型． 用 同除分子和分母，然后求极限，得 结论： 当 时 无穷小分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子、 分母，以分出无穷小，然后再求极限. 例7 求 解 当时 ，分子与分母的极限都为0, 所以 说明 为零因子，此题思路是先消去 零因子—因式分解，再运用运算法则计算. （分子、分母的极限都为0） 例8 求 解: （分子、分母的极限都为0） （分子有理化） （消去零因子） 例9 求 解 这是 型未定式. 可采用分子有理化，或： 例10 求 解 这是 型未定式． 先通分，再求极限，得 极限求法归纳： 1.多项式与分式函数代入法求极限. 2. 型未定式极限常用求法: ① 利用无穷大与无穷小的关系求极限; ② 利用无穷小分出法求极限. ③ 当 时 3. 型未定式极限常用求法: ① 因式分解消零因子求极限; 分子（或分母）有理化消零因子求极限. ② 二、 两 个 重 要 极 限 1、 2、 一、 （ ）型 由于函数 是偶函数,因此只需考察当 时, 函数 的值的变化趋势, 列表所示. 弧度 可以看出,当 无限趋于0时, 的值无限趋于1. 可以证明 常用变量代换形式： （2）分子是角度 的正弦函数，分母是这个角度本身． 这个极限有两个特征： （1）角度 一定趋于0； （此条件 不容忽视， 若改