④函数与方程备选习题.docVIP

备选习题 【历年真题】 1. (2009·辽宁)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2等于(　　) A. B．3 C. D．4 解析：由2x＋2x＝5得2x＝5－2x，作出草图，数形结合可知1x1；由2x＋2log2(x－1)＝5得log2(x－1)＝－x，同理可知2x2.所以3x1＋x24，结合选项可知选C. 答案：C (2009·天津)设函数f(x)＝x－ln x(x0)，则y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：因为函数f′(x)＝－，所以x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)单调递增；x∈(0,3)时，y＝f(x)单调递减．而01e3，又f＝＋10，f(1)＝0，f(e)＝－10，所以在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点，故选D. 答案：D (2007·山东)设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：令f(x)＝x3－x－2，f(1)＝1－－1＝－10， f(2)＝8－0＝70，所以f(1)·f(2)0. 答案：B (2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是解析：令g(x)＝ax(a0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0a1，a1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图．若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点，根据画出的图象只有当a1时符合题目要求． 答案：(1,+∞) 5. (2009·上海春招)已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，若方程f(x)＝0有2 009个实数解，则这2 009个实数解之和为____. 解析：因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．又f(x)＝0有2 009个实数解，f(x)与x轴的交点关于y轴对称且f(0)＝0，所以所有零点之和为0. (2008·上海)方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标．若方程x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是解析：由方程x4＋ax－4＝0可得x3＋a＝，曲线y＝与y＝x相交于两点(2,2)，(－2，－2)，如图(a)所示．当a＜0时，要使y＝x3＋a与y＝的两个交点同在直线y＝x的右侧需满足解之得a∈(－∞，－6)； 　　　　(a)　　　　　　　　　　(b) 如图(b)所示，当a＞0时，要使y＝x3＋a与y＝的两个交点同在直线y＝x的左侧需满足解之得a∈(6，＋∞)． 综上可得方程x4＋ax－4＝0的各个实根所对应的点均在直线y＝x同侧时，实数a的取值范围为(－∞，－6)∪(6，＋∞)． 已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为(　　) A．0 B．2 C．1 D．4 解析：因为f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，则与x轴的四个交点也关于y轴对称，所以所有零点之和为0. 答案：A 若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式Δ＝4－4a＜0，得a＞1，所以选B. 答案：B (2010·沈阳质检)已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：f(0)＝－2，即－02＋b·0＋c＝－2，c＝－2； f(－1)＝1，即－(－1)2＋b·(－1)＋c＝1，故b＝－4. 故f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＝ 令g(x)＝0，则－2＋x＝0，即x＝2，或－x2－3x－2＝0， 即x＝－2或－1，故有3个零点． 答案：C (2010·安徽示范性名校联考)函数f(x)＝ln x－x2＋2x＋5的零点个数为____. 解析：令ln x－x2＋2x＋5＝0得ln x＝x2－2x－5，画图可得函数y＝ln x与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.