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高数系列讲义之六 第六章 多元函数微积分 6．1 空间解析几何基础知识 一、空间直角坐标系：从空间的任一点O，引出三条互相垂直的数轴OX、OY、OZ，且有相同的长度单位，这样就形成了空间直角坐标系。 三个数轴中，内外轴是OX轴，左右轴是OY轴，上下是OZ轴。 二、坐标平面：由三个数轴组成的平面叫坐标平面。坐标平面一共有三个： ①XOY平面（水平面） ②XOZ平面（侧面） ③YOZ 平面（正面） 三、卦限：三个坐标平面将空间分成8个部分，称为8个卦限，简称“八卦”。 四、对应关系：空间中的任一点与三维坐标（x,y,z）形成一对一关系。即空间任一点都可以用三维坐标来表示；任一三维坐标都可以表示空间一点。 五、对称点： （x,y,z）关于XOY平面的对称点坐标是（x,y,-z）； （x,y,z）关于XOZ平面的对称点坐标是（x,-y,z）； （x,y,z）关于YOZ 平面的对称点坐标是（-x,y,z）； （x,y,z）关于原点对称点坐标是（-x,-y,-z）。 六、空间两点距离公式： 在已知两点三维坐标的情况下，两点的距离等于对应坐标差的平方和的算术平方根。 6．2 多元函数的基本概念 一、多元函数的定义： ①设有三个变量x、y、z，当变量x,y在一定的平面区域内任取一对数值时，按照某种对应关系，变量z有唯一确定的数值与之对应，则x、y都是自变量，z是x、y的二元函数。 通常记为z=f（x,y） ②三元函数通常记为：u=f（x,y,z），四元函数通常记为：v=f（x,y,z,u）…… 二元及以上的各元函数都是多元函数。 多元函数主要研究二元函数。 二、二元函数的定义域的求法：与一元函数类似。 习题：6-2：1 6．3 偏导数 一、偏导数的个数 ①二元函数的有两个偏导数：f/x、f/y ②三元函数的有三个偏导数：f/x、f/y、f/Z 。 ③n元函数的有n个偏导数 一阶偏导数有四种表示方法 二、偏导数的计算原则： 对哪个变量求偏导数，只有该变量才是变量，其余所有变量都看成常量，这样就变成一元函数，求导方法与以前完全相同。 三、二元函数的二阶偏导数 二元函数的二阶偏导数有四个：f//XX、f//XY 、 f//yX、f//yy 二阶偏导数也有四种表示方法 四、二阶偏导数的计算方法：先求一阶导数，再求二阶导数 习题：6-3：1 1）、2）、3） 2 1） 2） 6．4 全微分 二元函数全微分公式：dz= f/xdx+ f/ydy 三元函数全微分公式：du= f/xdx+ f/ydy+ f/Zdz 习题6-4 1 多元复合函数求导法则 z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y), 则复合函数z=f(u(x,y), v(x,y))求导公式是： z/x= z/u u/x+ z/v v/x , z/y= z/u u/y+ z/v v/y, z=f(x,y), x=x(t), y=v(t), 则复合函数z=f(x(t), v(t) )求导公式是： z/t= z/x x/t+ z/y y/t , z=f(u), u=u(x,y), 则复合函数z=f(u(x,y))求导公式是： z/x= z/u u/x ，z/y= z/u u/y 引入中间变量求导的条件： 多元复合函数求偏导时一般不用引入中间变量，直接求导；只有同时满足下列两个条件是才要引入中间变量： 函数有不明确的对应关系f（或其它）； 自变量是两部分。 习题6-5：1 1）2）、 3、4 、6 1） 6） 6-6 隐函数及其求导法则 隐函数定义：变量之间的关系通过一个方程式确定的函数关系叫隐函数； 用自变量的解析式表示函数关系的叫显函数。 一元隐函数求导法则： 设f（x，y）=0是一元隐函数，求导dy/dx的方法： 1、设新函数F（ x，y）= f（x，y） 2、求偏导数：F/x、F/y 3、代入公式：dy/dx=- F/x/F/y 三、二元隐函数求导法则 设f（x,y,z）=0是二元隐函数，求导dz/dx、dz/dy的方法： 1、设新函数F（ x,y,z）= f（x,y,z） 2、求偏导数：F/x、F/y、F/z 3、代入公式：dz/dx=- F/x/F/z，dz/dy=- F/y/F/z 习题6-6：1 1）3） 3、4 1） 2） 6．7 二元函数的极值 一、定义：设（x，y）是（x0，y0）邻域内的点： 1、若f（x0，y0）f（x，y），则f（x0，y0）是z=f（x，y）极大值，（x0，y0）是极大值点； 2、若f（x0，y0）f（x