计算证明题及答案.docVIP

三．简单应用能力层次 (一). 计算题（每小题5分） 1． 求齐次线性方程组 解空间的维数和一组基。 解　对方程组的系数矩阵施以初等行变换： （2分） 所以。故解空间的维数是1。 （3分） 由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程 （4分） 由此得基。　（5分） 2．求齐次线性方程组 解空间的维数和一组基。 解　对方程组的系数矩阵施以初等行变换： 　 （2分） 所以。故解空间的维数是1。　（3分） 由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程 　　　　　（4分） 由此得基。　　　（5分） 3．求齐次线性方程组 解空间的维数和一组基。 解　对方程组的系数矩阵施以初等行变换： 　　　（2分） 所以。故解空间的维数是2。　　　（3分） 由上面的阶梯形矩阵可得与原方程同解的方程组 　　　　　　　　　　　（4分） 由此得基，。　　　（5分） 4．设 解：设 则 由此得方程组 (2分) 求得：=(2,3,-1). （5分） 5．，为的一组基，求t的范围。 解：只要线性无关，即为的一组基， (2分) 设矩阵 则 =1-3t (4分) 得 (5分) 6．设 (1):求. (5分) (2):求. (5分) 解：(1) (5分) (2) 由此可得方程组：，解得: （2分） , 利用坐标变换公式得： (5分) 7．设 (1):求. (5分) (2):求. (5分) 解：(1) （2分） (5分) (2) 由此可得方程组：，解得: （2分） , 利用坐标变换公式得： (5分) 8．设 求:。 解： （2分） (5分) 9． 设 求::. 解： （2分） (5分) 10．设 (1): 求. (5分) (2):设 (5分) : 解：(1) （2分） (5分) (2) , 利用坐标变换公式得： (5分) 11．设向量组 求：. (5分) 解：设 则 由此得方程组 （2分） 求得：=(2,-1,3). （5分） 12． 求：. 解：设 则 由此得方程组 (2分) 求得：=(5,-2,-1). （5分） 13．。 解： 由此可得方程组： （2分） （4分） 则。 （5分） 14．将下列向量组单位正交化： ，，。 解　（1）利用施密特正交化方法先将其正交化： 　　　（2分） （2）将标准化 所以 ， ， ，　　　（4分） 则为的一组标准正交基。　　（5分） 15． 将下列向量组单位正交化： ，，。 解　（1）利用施密特正交化方法先将其正交化： 　　　（2分） （2）将标准化 所以 ， ， ，　　　　　　　　（4分） 则为的一组标准正交基。　　　（5分） 16.知两个单位正交向量，，试求列向量，使得以为列向量构成的矩阵是正交矩阵。 解 设，则由得 （1分） 　　　　　　　　　　　　　（3分） 解之得，代入得，于是 或　　　　　　　　　　　　　　　（4分） 和均是正交矩阵。　　（5分） 17.两个单位正交向量，，试求列向量，使得以为列向量构成的矩阵是正交矩阵。 解 设，则由得　　（1分） 　　　　　　　　　　　　　（3分） 解之得，代入得，于是 或　　　　（4分） 和均是正交矩阵。　　　（5分） （二）．证明题 （每小题 5 分） 1． 证明:向量组 证明: 对A作初等行变换得：