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计算证明题及答案
三.简单应用能力层次
(一). 计算题(每小题5分)
1. 求齐次线性方程组
解空间的维数和一组基。
解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换:
(2分)
所以。故解空间的维数是1。 (3分)
由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程
(4分)
由此得基。 (5分)
2.求齐次线性方程组
解空间的维数和一组基。
解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换:
(2分)
所以。故解空间的维数是1。 (3分)
由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程
(4分)
由此得基。 (5分)
3.求齐次线性方程组
解空间的维数和一组基。
解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换:
(2分)
所以。故解空间的维数是2。 (3分)
由上面的阶梯形矩阵可得与原方程同解的方程组
(4分)
由此得基,。 (5分)
4.设
解:设
则
由此得方程组 (2分)
求得:=(2,3,-1). (5分)
5.,为的一组基,求t的范围。
解:只要线性无关,即为的一组基, (2分)
设矩阵
则 =1-3t (4分)
得 (5分)
6.设
(1):求. (5分)
(2):求. (5分)
解:(1)
(5分)
(2)
由此可得方程组:,解得:
(2分)
,
利用坐标变换公式得:
(5分)
7.设
(1):求. (5分)
(2):求. (5分)
解:(1)
(2分)
(5分)
(2)
由此可得方程组:,解得:
(2分)
,
利用坐标变换公式得:
(5分)
8.设
求:。
解:
(2分)
(5分)
9. 设
求::.
解:
(2分)
(5分)
10.设
(1): 求. (5分)
(2):设 (5分)
:
解:(1)
(2分)
(5分)
(2)
,
利用坐标变换公式得:
(5分)
11.设向量组
求:. (5分)
解:设
则
由此得方程组 (2分)
求得:=(2,-1,3). (5分)
12.
求:.
解:设
则
由此得方程组 (2分)
求得:=(5,-2,-1). (5分)
13.。
解:
由此可得方程组: (2分)
(4分)
则。 (5分)
14.将下列向量组单位正交化:
,,。
解 (1)利用施密特正交化方法先将其正交化:
(2分)
(2)将标准化
所以
,
,
, (4分)
则为的一组标准正交基。 (5分)
15. 将下列向量组单位正交化:
,,。
解 (1)利用施密特正交化方法先将其正交化:
(2分)
(2)将标准化
所以
,
,
, (4分)
则为的一组标准正交基。 (5分)
16.知两个单位正交向量,,试求列向量,使得以为列向量构成的矩阵是正交矩阵。
解 设,则由得 (1分)
(3分)
解之得,代入得,于是
或 (4分)
和均是正交矩阵。 (5分)
17.两个单位正交向量,,试求列向量,使得以为列向量构成的矩阵是正交矩阵。
解 设,则由得 (1分)
(3分)
解之得,代入得,于是
或 (4分)
和均是正交矩阵。 (5分)
(二).证明题 (每小题 5 分)
1. 证明:向量组
证明:
对A作初等行变换得:
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