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计算证明题及答案
三．简单应用能力层次
(一). 计算题（每小题5分）
1． 求齐次线性方程组
解空间的维数和一组基。
解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换：
（2分）
所以。故解空间的维数是1。 （3分）
由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程
（4分）
由此得基。 （5分）
2．求齐次线性方程组
解空间的维数和一组基。
解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换：
（2分）
所以。故解空间的维数是1。 （3分）
由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程
（4分）
由此得基。 （5分）
3．求齐次线性方程组
解空间的维数和一组基。
解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换：
（2分）
所以。故解空间的维数是2。 （3分）
由上面的阶梯形矩阵可得与原方程同解的方程组
（4分）
由此得基，。 （5分）
4．设
解：设
则
由此得方程组 (2分)
求得：=(2,3,-1). （5分）
5．，为的一组基，求t的范围。
解：只要线性无关，即为的一组基， (2分)
设矩阵
则 =1-3t (4分)
得 (5分)
6．设
(1):求. (5分)
(2):求. (5分)
解：(1)
(5分)
(2)
由此可得方程组：，解得:
（2分）
,
利用坐标变换公式得：
(5分)
7．设
(1):求. (5分)
(2):求. (5分)
解：(1)
（2分）
(5分)
(2)
由此可得方程组：，解得:
（2分）
,
利用坐标变换公式得：
(5分)
8．设
求:。
解：
（2分）
(5分)
9． 设
求::.
解：
（2分）
(5分)
10．设
(1): 求. (5分)
(2):设 (5分)
:
解：(1)
（2分）
(5分)
(2)
,
利用坐标变换公式得：
(5分)
11．设向量组
求：. (5分)
解：设
则
由此得方程组 （2分）
求得：=(2,-1,3). （5分）
12．
求：.
解：设
则
由此得方程组 (2分)
求得：=(5,-2,-1). （5分）
13．。
解：
由此可得方程组： （2分）
（4分）
则。 （5分）
14．将下列向量组单位正交化：
，，。
解 （1）利用施密特正交化方法先将其正交化：
（2分）
（2）将标准化
所以
，
，
， （4分）
则为的一组标准正交基。 （5分）
15． 将下列向量组单位正交化：
，，。
解 （1）利用施密特正交化方法先将其正交化：
（2分）
（2）将标准化
所以
，
，
， （4分）
则为的一组标准正交基。 （5分）
16.知两个单位正交向量，，试求列向量，使得以为列向量构成的矩阵是正交矩阵。
解 设，则由得 （1分）
（3分）
解之得，代入得，于是
或 （4分）
和均是正交矩阵。 （5分）
17.两个单位正交向量，，试求列向量，使得以为列向量构成的矩阵是正交矩阵。
解 设，则由得 （1分）
（3分）
解之得，代入得，于是
或 （4分）
和均是正交矩阵。 （5分）
（二）．证明题 （每小题 5 分）
1． 证明:向量组
证明:
对A作初等行变换得：
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