弹性力学-第二章-平面问题的基本理论.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力 很多工程问题, 体力为常量. 如：重力、常加速度下平移物体的惯性力 § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 fx 、 fy为常数 ?y ?y2 + ?2 ?2 ?x2 (σx+σy) = - (1+μ) ?fx ?x ?fy + 相容方程 ?y2 + ?2 ?2 ?x2 (σx+σy) = 0 常体力的相容方程 § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 ?y2 + ?2 ?2 ?x2 (σx+σy) = 0 常体力的相容方程 ▽2( σx + σy ) = 0 → ▽2 + ?2 ?y2 ?2 ?x2 调和方程（拉普拉斯方程） ▽2: 调和算子 σx + σy : 调和函数 * 温度场、电磁场、流场、引力场都服从调和方程. § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 ▽2( σx + σy ) = 0 ?σx ?x + ?τyx ?y +fx = 0 ?σy ?y + ?τxy ?x +fy = 0 (lσx+mτxy)s = fx(s) (lσy+mτxy)s = fy(s) 平衡微分方程 相容方程 应力边界条件 不含弹性常数 § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 平衡微分方程 平面应力问题 平面应变问题 相容方程 应力边界条件 平衡微分方程 相容方程 应力边界条件 完全相同 与材料属性无关 § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 单连体应力边界条件问题: A B 外力相同 形状相同 A 软 σx 、σy 、τxy分布相同 B 硬 ＝ A B ＝ σx σy τxy σx σy τxy 平面应力 平面应变 σz 、形变、位移不相同 材料不同 为实验和计算提供极大便利 § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 位移法方程: 应力法方程: § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 应力法方程的解: ?σx ?x + ?τyx ?y +fx = 0 ?σy ?y + ?τxy ?x +fy = 0 非齐次方程的解 非齐次方程的任意特解 齐次方程的通解 = + σx = -fxx , σy = -fyy , τxy = 0 σx = 0 , σy = 0, τxy = -fxy -fyx σx = -fxx -fyy , σy = -fxx -fyy , τxy = 0 § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 应力法方程的解: ?σx ?x + ?τyx ?y = 0 ?σy ?y + ?τxy ?x = 0 齐次方程的通解? ?f ?x ?y ? ?f ?y ?x ? = f = f (x, y) (C) ?x ? = (D) ?y ? C = ?f ?y D = ?f ?x ? f ?σx ?x + ?τyx ?y =0 σx= ?A ?y -τyx = ?A ?x ? A(x,y) ?σy ?y + ?τxy ?x =0 ? B(x,y) σy= ?B ?x -τxy = ?B ?y ?A ?x = ?B ?y § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·常体力的简化 应力法方程的解: ?σx ?x + ?τyx ?y = 0 ?σy ?y + ?τxy ?x = 0 齐次方程的通解? ?A ?x = ?B ?y A = ?Φ ?y B = ?Φ ?x ? Φ(x,y) σx= ?2Φ ?y2 σy= ?2Φ ?x2 τxy= ?2Φ ?x?y - § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·应力函数 应力法方程的解: σx= ?2Φ ?y2 σy= ?2Φ ?x2 τxy= ?2Φ ?x?y - -fxx -fyy Φ称为平面问题的应力函数，又称艾里应力函数 * 平衡方程自然满足 * Φ是未知函数，但使得原未知函数个数从3个变为1个 * 从求解应力分量问题转化为求解应力函数Φ * 应力函数与应力分量函数意义不同 § 2-10 常体力情况下的简化 应力函数 ·应力函数表示的相容方程 + ?2 ?y2 ?2 ?x2 ?2Φ ?y2 + -fxx ?2Φ ?x2 -fyy = 0 + ?2 ?y2 ?2 ?x2 ?2Φ ?x2 + ?2Φ ?y2 =0 ?y2 + ?2 ?2 ?x2 (σx+σy) = 0 σx= ?2Φ