《计算电磁学》第三讲.pptVIP

将以上个差分格式应用于网格节点，可得到网格节点上的未知量 的n个差分方程。这样，就构成了矩阵方程 观察该矩阵方程，可知求解截止波长变为求解矩阵[K]的特征值。 截止波长公式为 (3.56) (3.55) * 矩形波导截止波长的解析解 矩形波导中可能存在TE波和TM波。截止波长为 (3.57) ( ; ) * 第三讲 边界条件及有限差分法应用 Dr. Ping DU (杜平) E-mail: pdu@hfut.edu.cn School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT) 边界条件及其处理 积分形式的麦克斯韦方程 微分形式的麦克斯韦方程 (3.1a) (3.1b) (3.1c) (3.1d) (3.2a) (3.2b) (3.2c) (3.2d) 其中, H为磁场强度;B为磁感应强度; D为电通量密度； 为电荷密度; 为电流密度 对线性、均匀、各向同性媒质，有 ， 。 其中 、 分别为介质的介电常数和磁导率。 1．不同介质分界面上的处理方法 在实际问题中，常遇到所分析的场域存在不同介质。在不同介质分界面上， 电通量是连续的，有 其中， 为电位， ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (3.3) 在不同介质分界面处，电位也是连续的。 切向电场强度也是连续的 图3-1 直线形介质分界面处的差分格式 对式(3-3)进行面积分，并利用二维Gauss定理，得 式中，是垂直于区域S围线l的外法线矢量。将S区域各边上的 用其所在 边中心点处的两点差分表示，可得（3-4）式左边的积分值。如，对a-a’边，沿线的积分为 (3.4) (3.5) 对其他三个边类似处理，可得 经过整理，可得 从式(3-7)可以看出，在分界面上的等效相对介电常数为 ，即取平均值。 对于具有角点的介质交界面情形 (3.7) (3.6) 图3-2 含角点的介质分界面 角点处的电位 为 (3.8) 2. 边界条件的处理 三类边界条件 第一类边界条件： 当网格节点位于边界C上时，则取所在位置的值。 若节点不位于边界C上时，有三种处理办法。 (2)线性插值法 (3.10) (3.9) (1)直接转移法 图 3-3 第一类边界条件的差分网格 (3.11) (3)双向插值法 若 ， ， 代入Poisson方程，则有 第二类边界条件： (a) (b) 图3-4 第二类边界条件的差分网格 (3.13) (3.12) 若网格点和边界点重合， 否则，可令 ，再利用不等距差分公式计算。 当 为0时，为齐次边界条件。 第三类边界条件： 当 时，降为第二类边界条件。 (3.15) (3.14) 图3-5 第二类和第三类边界条件的差分网格 处理办法：过点O向边界作垂线PQ，与边界交于Q点。令OP、PR、VP的长度分别为ah，bh和ch。对点O有， 点P的值由点V和R的插值得到， (3.16) (3.17) 代入（3-16）,且由于 有 由式(3-15),有 由式(3-19)和(3-20)，得点O的差分格式为 (3.21) (3.18) (3.19) (3.20) 有限差分法的应用 (Application of the Finite Differential Method ) 差分方程组的建立 分析二维Poisson方程的第一类边界问题为例。设场域D为正方形： 假设x方向和y方向的步长相等 。 , 。 以这样的网格离散该区域，如图3-6所示。 图3-6 正方形区域的差分网格 五点差分格式为： 提示：用一个例子加以说明；把 写成一维列向量。在确定了网格格式后， 就要据此建立线性方程组。用矩阵符号可写成， 其中，[K]为系数矩阵， 为未知量, [F]为已知量 引入x方向的层向量