东北大学高等数学历年考题12008.01.docVIP

高等数学(A)参考答案 2008-1-18 一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. B. 2. A. 3. A. 4.C. 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. . 2. . 3. (2,12). 4.. 三、（7分）设 试研究函数在上是否满足拉格朗日中值定理的条件. 解 在区间和内连续且可导. 时， 因此，在处连续. , , 在处可导。 因此，在上满足拉格郎日中值定理的条件. 四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. 解 2. 解 3. 设， 计算． 解 则 4. 计算积分 ． 解 5. 解 设，则，， 且时，；时，。于是 = 6. 求微分方程的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为， 其根 齐次方程的通解 不是特征方程的根，则设非齐次的特解 代入原方程，整理得 比较两端同类项系数得 ，解得 通解 五、解 设是曲边上任一点。过该点的切线方程为 令得切线与的交点的坐标； 令得切线与的交点的坐标。 所围成的三角形面积 （） 令，得 时，；时，。 因此，时，取极大值，也是最大值。 所求点为。 六、求心形线与圆所围成公共部分图形的面积。 解 由于图形关于极轴对称，故所求图形的面积就是极轴上方图形的面积的二倍。 解方程 得 所求的面积 解1. 所给等式变形为 上式两端对x求导，得 令，则，解之得， 即 由及，知，从而，因此 。 2 设，则 ，当时，， 即单调增加，因此 即有 。 八、证明 在处的一阶Taylor公式为 （在与之间） （1） 因，所以 (1)式两边在[a,b]上积分得， . 4