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空间向量解立体几何 概念梳理： 空间角 1．异面直线所成的角 点A，B直线a,C，D直线b。构成向量。所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。 2．线面所成的角 与平面的法向量所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面所成的角，所以与的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面所成的角的正弦值。 3．二面角的求法 二面角，平面的法向量，平面的法向量。，则二面角的平面角为或π。所以，，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。 空间距离 1．点到面的距离 点P到面的距离可以看成在平面的法向量的方向上的射影的长度。 异面直线间的距离 异面直线a,b之间的距离可以看成在a,b的公垂向量的方向上的射影的长度。 3．线面距离 直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就是直线a与平面之间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。 平面与平面间的距离 平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。 例题讲解 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。 (1)求证：∥平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的大小。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。 要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角 考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 （2）线面角 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则 2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。 例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。 （2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。 （3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。 要点考向3：利用空间向量求二面角 考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。 2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。 考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等， 例3：（2010·天津高考理科·Ｔ19） 如图，在长方体中，、分别是棱, 上的点，, 求异面直线与所成角的余弦值； 证明平面 求二面角的正弦值。 练习题：如图，⊥底面ABCD，AB⊥AD， 点E在线段AD上，CE∥AB。 （Ⅰ）求⊥平面PAD； ，∠CDA＝45°， 求四棱锥P－ABCD的体积 要点考向4：传统方法解立体几何 例4（2010，天津理）如图，在五面体中，四边形是正方形，，，，，． （Ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）求二面角的正切值． 高考真题 1.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，， （1）求证平面C； （2）若，求PB与AC所成角的余弦值 （3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长. 2如图5，在椎体中，是边长 为1的棱形，且,, 分别是的中点， （1）证明：; （2）求二面角的余弦值. 3如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上． （