沪教版二面角的定义及其求法（共14张PPT）.ppt

四、作二面角的平面角的常用方法 练 习 2、求二面角的平面角方法 * * 二面角 广学课堂 一、二面角的定义 二、二面角的画法 β α ι α β ι 二面角 二面角 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 直立式 平卧式 α β ι 三、二面角的平面角 A B P β α ι 1、定义 二面角 二面角 2、二面角的范围： 从二面角棱上任取一点P，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线PA、PB，则　　　　　称为二面角的平面角。 ①、点P在棱上 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 ι p α β A B A B p α β ι A B O α β ι p —定义法 —三垂线定理法 —垂面法 二面角 思考:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？ l α β O A B l α β O A B 例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60o ∠BPM=∠BPN=45o ，求此二面角的度数。 β α A B P M N C D O 二面角 解： 在PB上取不同于P 的一点O， 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， 在β内作OD⊥AB交PN于D， 连CD，可得 ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o ∴CO=a， DO=a， PC a ，PD a 又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a ∴∠COD=90o 因此，二面角的度数为90o a O P C 二面角 例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 β α A B P ι O 二面角 过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角 又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 ∴∠P= 60o ∴∠AOB=120o ∴这二面角的度数为120o 解： β α A B P ι O 二面角 例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 O A B P C 取AB 的中点为E，连PE，OE ∵O为 AC 中点， ∠ABC=90o ∴OE∥BC且 OE BC 在Rt△POE中， OE ，PO ∴ ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。 ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE OE⊥AB ，因此 PE⊥AB E 解： E O P 二面角 A G F E D C B H 练习:正方体ABCD－EFGH中 2、平面ABC与平面ACF所成的二面角的正切值为____. 1、平面ABGH 与平面ABCD所成的 平面角为_________. 1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 2、已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ p α β ι A B O A B C P 60o 二面角 二、二面角的平面角 一、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 1、定义 ①点P在棱上 ②点P在一个半平面上 ③点P在二面角内 A B P γ β α ι 小 结 α β ι A B α β ι p ι p α β A B p α β ι A B O —定义法 —三垂线定理法 —垂面法 二面角