高等数学多元函数的微分.pptVIP

导数与微分 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 注意： 例5. 求函数 例如, 例6. 证明函数 定理. 内容小结 备用题 * 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏导数与全微分 三、全微分 Longlan_sophiey@163.com 设函数 在点 的某邻域内有定义 称为函数 z = f (x, y)的改变量或增量 称为函数的对于x的偏改变量或偏增量 称为函数的对于y的偏改变量或偏增量 定义：设函数 z = f (x,y) 在点 (x0, y0) 的某邻域内有定义, 当 时， 存在 则称此极限值为函数 f (x, y) 对 x 的偏导数 记作： 极限 在 (x0, y0)处 即： 注意: 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y )处 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为： 对x或 y 偏导数存在 , 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为： (请自己写出) 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 例2. 设 证: 求证 例3. 求 的偏导数 . 解: 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数： 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 二者不等 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 则 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 而初等函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的 高阶导数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 (证明略) 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) * *