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例：证明 (1) ? (P?Q) (2) ? (R?S) (3) Q /? ? (S?P) (4) ?R??S (2)，德摩根律 (5) ?S (4)，合取消去 (6) ?P??Q (1)，德摩根律 (7) ?? Q (3)，双否律 (8) ? P (6)(7)，析取消去 (9) ?S? ?P (5)(8)，合取引入 (10) ?(S?P) (9)，德摩根律 给下面论证指出从它的前提或一些前提得到结论所用的推理规则： 1. （﹁A→B）∧（C∨﹁D） ∴（﹁A→B）∧（﹁D ∨C） 2. （﹁E∨F）∧（G∨﹁H） ∴（E→F）∧（G∨﹁H） 3. （ P→（Q∨R） ）∨（ P→（Q∨R） ） ∴P→（Q∨R） 下面是有效性形式证明，说明非前提行的理由。 1.（1）（A∨B）→C /∴A→C （2）﹁（A∨B）∨C （3） (﹁A∧﹁B)∨C （4） (﹁A∨C) ∧(﹁B∨C) （5） ﹁A∨C （6） A→C 2.（1）﹁（A∨B）→﹁C （2）﹁A∧﹁B /∴﹁C （3）﹁（A∨B） （4）﹁C （1）（A∧B）→C （2）（B→C）→D （3） A /∴D （4） A→（B→C） （5）（B→C） （6） D 4.附加规则（∨ ） p ∴p∨q 例如：发烧可由肺炎引起，所以，发烧或者可由肺炎引起或者可由感冒引起。 附加规则也称作析取添加。 5.分离规则（MP） p→q p ∴q 例如：如果这一地区内猫多，那么田鼠少。这一地区内有大量的猫。所以，这一地区田鼠少。 6.逆分离规则（MT） p→q ﹁q ∴﹁p 例如：如果天在下雨，那么外面的地就是湿的。外面的地不是湿的。所以，天没有下雨。 7.假言三段论（HS） p→q q→r ∴p→r 例如： 如果这种商品定价过高， 那么将使企业丧失部分销售市场。如果企业丧失部分销售市场，那么企业销售额将受到严重影响。所以，如果这种商品定价过高，那么企业销售额将受到严重影响。 8.二难推理（CD） （p→q）∧（r→s） p∨r ∴q∨s 例如： 如果我去咖啡厅，那么我将喝一杯咖啡；如果我去茶楼，那么我将喝一杯茶。我或者去咖啡厅或者去茶楼。所以，我或者喝一杯咖啡或者喝一杯茶。 半费之讼： Euathlus到Protagaras那里学法律，两人商定，当Euathlus打赢第一场官司的时候付清全部学费。但是Euathlus一直没有去接案子，于是Protagaras决定去告Euathlus，并对Euathlus说： 如果官司打赢了，法官会判你赔钱给我，如果官司打输了，按照协议你应该赔钱给我。所以，你总会赔钱给我。 9.破坏式二难推理（DD） （p→q）∧（r→s） ﹁q∨﹁s ∴﹁p∨﹁r 例如： 如果某人态度好，他就能承认错误；如果某人觉悟高，他就能改正错误。某人或者不承认错误或者不改正错误。所以，某人或者态度不好或者觉悟不高。 如果商品短缺日益严重，那么物价会上涨。如果存在生产过剩，那么物价不会上涨。如果存在通货膨胀威胁，那么财政控制将继续。如果政府改组，那么财政控制将取消。或者存在生产过剩，或者政府改组。因此，商品短缺不会日益严重，或者不再存在通货膨胀威胁。 设“商品短缺日益严重”为p，“物价会上涨”为q，“存在生产过剩”为r，“存在通货膨胀威胁”为s，“财政控制将继续”为t，“政府改组”为h。 1.p→q 2.r→﹁q 3.s→t 4.h→﹁t 5.r∨t /∴﹁p∨﹁s 6.（r→﹁q）∧（h→﹁t） 2、4 ∧+ 7.﹁q∨﹁t