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方法技巧篇18 第十八章 勾股定理 A．中考常考题型与解题方法技巧 一、勾股定理与最短距离 勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决许多问题，在求 1．在圆柱表面爬行 l (2007·梅州)如图，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A到A1 (A，A1在圆柱的同)镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是2．在长方体表面爬行 2 如图，一只蚂蚁如果沿长、宽、高分别为2 cm、1 cm、4 cm的长方A爬行到点C，那么沿哪条路最近，最短路程是多少？ ； 对于图⑵； 对于图⑶． 综上可知，最短路线如图⑴所示，为5 cm． 3．在阶梯上爬行 3 图下是一个三级的台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，点A、B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃B的最短路程是dm？ 答案：25 二、滑动中的“玄机” 我们经常遇到一类梯子下滑的问题，这类问题是否有规律可寻？ 例4 如图，一架长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地8 m.如果梯子的顶端下降Im，那么它的底端是否也滑动1 m? 1．如果本例题中，梯子的顶端下滑2m，那么它的底端是否也滑动2 m?2．如果梯子的顶端下滑3m，那么它的底端是否也滑动3 m? 勾股定理是中学阶段的一个重要定理，至今为止共有多种证明勾股定理的方法， 例5 (2007·芜湖)如图10 cm，正方形A的边长为6 cm、B的边长为5 cm、C的边长为5 cm，则正方形D的边长为( ) B．4 cm C． D．3 cm A 例6 如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S3、S4，则S+S2+S3+S4=______． 例7 如图，Rt△ABC的面积是9 cm2，在AB的同AB、BC、CA为直径作三个半圆，试求图中阴影部分的 例8 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外Sl、S2、S3，试求Sl、S2、S3之间的关系． 在斜三角形中求边或角时，往往感到无从下手，若能根据题意，结合图形，将斜三角形转化为直角三角形，从而运用解直角三角形的知识来求解． 例9 如图，在△ABC中，B=45°，AC=5，BC=3，求sinA和AB． 10 如图，在△ABC中，已知BC=1+B=60°，∠C=45°，求AB的长． 11 在△ABC中，∠A=30°，AC=8，BC=5，ABC的面积 数学思想方法是数学的“灵魂”，是分析问题、解决问题的“金钥匙”．我们只有平时熟 一、整体思想 整体思想是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结 例l 已知直角三角形的周长为7，斜边上的中线长为1，求直角三角形的面积2 （2006·深圳）在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，△ABC的面积分类讨论思想是重要的数学思想之一，对一个较为复杂的问题我们往往要采取 例3 一个等腰三角形的周长为14 cm，一边长为4 cm，求底边上的高． 数和形是数学的两个柱石．所谓数形结合思想就是根据数学问题的题设和 四、方程思想 方程思想是指对问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，方程思想在初中数． (2007·德州)如图ABCD为矩形纸ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕AF．若CD=6，则AF等于( ) B． C． D．8 五、归纳思想 根据一组相关图形和数字的变化，从中总结出所反映的规律，其中，以图形为载 例5 (2005·广东)如图ABCD是边长1的正方形，以对角线AC为边作第二个ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…… (1)记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法a2，a3，a4，…，an，请求出a2，a3，a4的值； (2)根据以上规律写出an的表达式． 3 方法技巧篇18 第十八章 勾股定理