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P点是X轴上任一点 ，图上的P点的 振动比A点落后 。讨论： 如果波沿X轴负向传播，则图上的P点振动比A点超前，同样 超前了 。此时波动方程应为： 当 x L 时 ( x - L)/u 0 , P点在A点的右边, P点振动比A点落后 当 x L 时 ( x - L)/u 0 , P点在A点的左边, P点振动比A点超前 和上面有相同的讨论 平面简谐波上任意两点间的相位差: 2 1 综上所述，建立波动方程的方法归纳如下： （1）写出波在媒质中某点（如O点）的振动表达式。初相由 初始条件确定。当然某点的振动方程也可以由题目给出。 （2）建立坐标系。一般把该点（O点）选在坐标原点。坐标 系也可以由题目给定。 （3）在坐标系中任选一点，求出该点相对于给定点A的振动 所落后（或超前）的时间。 （4）将已知的振动表达式中的 t 减去（或加上）这段时间就 可得到波动方程。 若已知 A、T、v、? , 波动方程还可以用比较法求出。 若已知波动方程还可求出： （1）x 一定时的振动方程； （2）t 一定时的波形方程。 例1：已知波源振动方程为 以 v =2 m/s 的速度沿X轴正向传播。求：（1）波动方程。（2）? 、A、 ?、T。（3）距波源 9 米和10米两处振动的位相差。（4）画 出 t = 0 及 t = 3T/4 时的波形图。（5）t =1 s 时的波形方程和 各波谷的位置坐标。 解：（1） 取波源为坐标原点，则波动方程为： （2）A= 0.2 m 、 ? = 8 ? 、 ? = ?/v = 4 ， T = 1 / 4 s ? = v T = 0.5 m 。 （4）当 t = 0 时，波形方程为： 由此波形方程可见，当 x =0 时 y = 0 ， 故波形图为： 当 t = 3 T/4 时，波形方程为： 由此波形方程可见，当 x =0 时 y = 0 .2 ， 故波形图为： （有两种可能） t =0 由O点振动方程 知当 t = 0 时 ?=?/2 波源将向Y轴负向运动，故波形图为实线形状。 （3） ?x = x2 - x1 = 1 m 位相差为 （5）将 t =1 s 代入波动方程 中 得波形方程： 对波谷有 即 （k = 0、±1、±2 ） （k = 0、±1、±2 ） t =3T/4 波的传播过程就是振动的传播过程，波传到哪里，哪里的媒质元就发生振动，因而具有动能。同时这媒质元要发生形变，因而又具有弹性势能。因此波的传播既是振动状态的传播，也是能量的传播。 一、波的能量 设有一平面简谐波，其波动方程为 V振2 当波传到此体元时，其振动动能为： 在密度为 的弹性媒质中传播。考虑媒质中一体元 dv 其质量为 §16 - 4 波的能量、能流密度 V振 同时，此体积元因发生弹性形变而具有弹性势能： 长应变= 代入上式 得： 所以，小体积媒质元的总能量为： 由上面的讨论可以看出：任一时刻体积元的动能和势能总是相等的。而且位相也相同，同时达到最大，同时为零。体积元的总能量是随时间作周期性变化的（这和谐振动不同）。 在波动中，与势能相联系的是质点间的相对位移（体积元的 形变?y/?x）。 在波形图中，讨论A、B两点： A点：振动速度 u = 0 动能为零。 此点曲线斜率?y/?x=0 故 势能也为零。 B点：振动速度最大，动能最大。同时曲线最陡斜率最大，势 能也最大。 波动中的总能量随时间作周期变化说明小体积元是在不断的 接受能量，同时又不断地放出能量。即波动中随着振动在媒质 中传播，能量也从媒质的一部分传到另一部分。所以波动是能 量传播的一种形式。 媒质中单位体积内波的能量叫波的能量密度w。即 能量密度在一个周期内的平均值叫平均能量密度。即 注： 令 则 平均能量密度 虽是从平面余弦波导出的，但它 对所有弹性行波都是适用的。 二. 能流和能流密度 1.能流: 单位时间内,通过某一面积传播的能量 v v