山东大学-信息科学工程学院3-2-周期信号的傅立叶级数.pptVIP

* * §3.２周期信号的傅立叶级数(Fourier Series of Periodic Signals) 信号 数学函数 ?某函数集 　构成　信号空间 矢量 平面空间：若矢量 三维空间：若矢量 C3 C2 C1 n维空间 则称两个矢量正交（Orthogonality） 概念 １．正交函数集： n个函数?i(t) （i=1，…，n）， 若在区间( t1，t2)上满足: ２．完备正交函数集： 区间( t1，t2)上，若除 n 个正交函数 ?1(t) ，…， ? n(t) 外 ，不再存在任意函数?(t)与其正交。则{? 1(t) ，…， ? n(t) }称为完备正交函数集。且在( t1，t2)上任意函数 f(t) 可用n个正交函数的加权和精确表示： 1、三角函数集: 常用完备正交函数集 ( t0，t0 +T ) 2、指数函数集: ( t0，t0 +T ) 3、抽样函数集: ( -? ， ? ) （讲义p11-1 图） 直流分量 余弦分量幅度 正弦分量幅度 其中： 周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足Dirichlet条件时，则可在(t0,t0+T)区间用完备正交三角函数集精确表示： 三角形式的傅立叶级数 Fundamental Frequency 在周期函数的一个周期内（对于非周期函数是从-int到+int的整个区间），除了在有限数目的点上做幅度有限的跳跃外，函数值处处连续；函数的极大值点和极小值点的数目是有限的；而且函数的绝对值的积分存在。 ???工程上遇到的许多实际函数都满足Dirichlet条件。 余弦形式 两种形式系数间的关系： 周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线性组合。 合并 频谱＝振幅／相位频谱：以（角）频率为横坐标，各谐 　　　　　　　波分量的振幅／相位为纵坐标所绘图形 频谱演示： 二.指数形式的傅立叶级数 设： 则： 因为an 是n的偶函数，bn是n的偶奇函数 引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； Cn 是实函数，Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，Fn的正负可用0和π表示相位，幅度谱和相位谱合一。----复频谱 （利用3.2-1c,d） （表明了三角形式与指数形式的关系） 周期信号的频谱 信号的幅度频谱——傅里叶系数的幅度 或 随角频率 的变化，简称幅度谱。 信号的相位频谱——相位 周期信号的频谱实际上就是它的直流、基波、以及各个谐波分量的幅度和相位随频率的分布情况，或者说是它的各种频率分量的分布情况。 可以采用图示的办法把信号的幅度频谱和相位频谱的特征形象地表示出来，相应的也称为幅度谱和相位谱频谱图。 随角频率 变化称为信号的相位 频谱，简称相位谱。 幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。 周期信号的傅里叶级数为： 式中? 则该信号的幅度谱和相位谱分别如图所示。 熟练应用以下公式： 例3.2-1 试画出信号f（t）的频谱。 解: 化成余弦形式： （单边频谱） 化成指数形式： （双边频谱） 根据： 结论 1、周期信号频谱特点： 1）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成； 2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍； 3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。 2、三角傅氏级数——单边谱 　指数傅氏级数——双边谱