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線性代數—Linear Algebra 東吳大學數學系 葉麗娜 第六章 矩陣的特徵值(Eigenvalues)與特徵向量(Eigenvectors) Eigenvalues and Eigenvectors 6.1 Introduction to Eigenvalues 6.2 Diagonalizing a Matrix 6.3 Applications to Differential Equations 6.4 Symmetric Matrices 6.5 Positive Definite Matrices 6.6 Similar Matrices 6.7 Singular Value Decomposition (SVD) 6.1 Introduction to Eigenvalues 在一個動態的問題中，我們通常會遇到A1 , A2 , … , An 如何簡化Ak的計算 當k越來越大Ak 的情形如何? 特徵值與特徵向量： 特徵向量就是滿足方程式Ax =λx不為零的向量x(≠0)，λ是一個常數，即所謂的特徵值。 Ax =λx 表示 Ax與x 在相同的線上，但是隨著λ值的變化使得x伸長、縮短、反向或保持不變(λ1, λ 1, λ= -1 ,λ=1)。 6.1 Introduction to Eigenvalues 例如： A2x1 =A (Ax1) = A x1 = x1 , A2x2 =A (Ax2) = A ((1/2)x2 )= (1/2)2x2 A100x1 =x1 (保持不變) , A100x2 = (1/2)100x2 ~ 0 ( 零向量) 6.1 Introduction to Eigenvalues 其中λ1, λ2 是矩陣A的特徵值，我們令det(A-λI)=0求出λ1, 與λ2，而特徵向量x1屬於A-I的nullspace ，而特徵向量x2屬 於A-(1/2)I 的nullspace。 重要性質： A2 的特徵值是A的特徵值的平方 ,且對應之特徵向量不變 。 不同特徵值對應之特徵向量是線性獨立。 6.1 Introduction to Eigenvalues 是線性獨立 表成其線性組合 這個A矩陣稱為Markov matrix，特徵向量x1是穩定狀態(steady state)，而x2是衰減模式(decaying mode)。 6.1 Introduction to Eigenvalues 範例：投影矩陣P的特徵值為1,0 P2 = P P x1=x1 ，特徵向量x1=(1, 1)是”穩定狀態” (x1在P的column space也是row space,因為PT = P )而x2 =(1, -1)是在nullspace(也是left nullspace) 因為Px2=0 。 有三個性質： 矩陣的每行其和為1，λ=1是一個特徵值。 P是奇異矩陣(singular matrix)， λ=0是一個特徵值。 P是對稱 (symmetric)， x1與x2互相垂直。 6.1 Introduction to Eigenvalues 特徵值為0 , (Px=0 , x是特徵向量) 所有的對應特徵向量會填滿P的nullspace ,也是left nullspace 因為 PT=P 。 特徵值為1 , (Px=x , x是特徵向量) 所有的對應特徵向量會填滿P的column space 。 Project each part 6.1 Introduction to Eigenvalues 範例：映射矩陣R的特徵值λ為1,-1 R=2P- I , R2 = I (R2的特徵值是λ2=1 ,特徵向量不變) if Px= λx then 2Px=2λx , (2P- I) x=(2λ-1)x=Rx When a matrix is shifted by I, each λ is shifted by 1. 但是特徵向量不變， x1=(1, 1) 與 x2 =(1, -1) 6.1 Introduction to Eigenvalues 範例：排序矩陣的特徵值λ滿足|λ|=1 上頁映射矩陣R也是排序矩陣(列對調)，其特徵值λ為1,-1 但是P4的特徵值λ為±1, ± i有複數，其對應之特徵向量 (1, ±1, 1, ±1)與 (1, ± i ,-1, i) 6.1 Introduction to Eigenvalues :