线性变换的乘积.pptVIP

一、 线性变换的乘积 二、 线性变换的和 三、 线性变换的数量乘法 四、 线性变换的逆 作业 P324　3 一、 线性变换的乘积 二、 线性变换的和 三、 线性变换的数量乘法 四、 线性变换的逆 五、 线性变换的多项式 1．定义 设　　为线性空间V 的两个线性变换，定义它们 事实上， 的乘积　 为： 则 　也是V 的线性变换. ２．基本性质 （1）满足结合律： （2）　　　　　　，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地， 例1. 线性空间　　中，线性变换 而， 即 例2. 设A、B　　　为两个取定的矩阵，定义变换 则　　皆为　　的线性变换，且对　　　　　有 则 　　也是V的线性变换. 1．定义 设　　为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和　 为： 事实上， （3） 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律： 2．基本性质 （1）满足交换律： （2）满足结合律： 3．负变换 设　为线性空间V的线性变换，定义变换　　为： 则 　也为V的线性变换，称之为　的负变换. 注： 1．定义 的数量乘积　 为： 则　 也是V的线性变换. 设　为线性空间V的线性变换，　　　定义 k 与 2．基本性质 注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于 线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 则称　为可逆变换，称　为　的逆变换，记作 1．定义 设　为线性空间V的线性变换，若有V的变换　使 2．基本性质 (1) 可逆变换　的逆变换　　也是V的线性变换. 证：对 (2) 线性变换　可逆　　线性变换　是一一对应. 证： 设　为线性空间V上可逆线性变换. 任取　　　　 若　　　　　　 则有 为单射. 是V的线性变换. 若　为一一对应，易证　的逆映射　也为V 的线性变换，且 故　可逆，　　　. 其次，对　　　　令　　　　　　则　　　且 故　为一一对应. 为满射. 当　　　时，规定　　　（单位变换）. 五、线性变换的多项式 1．线性变换的幂 设　为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义 称之为　的n次幂. ① 易证 注： ② 当　为可逆变换时，定义　的负整数幂为 ③ 一般地， 设 为V的一个线性变换，则 2．线性变换的多项式 多项式. 也是V的一个线性变换，称　　 为线性变换　的 注： ① 在 　　中，若 则有， 即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律. ② 对　　　　　　　　　有 证明：　 练习：设　　为线性变换，若 证：对k作数学归纳法.　 当k=2时，若　　　　　 ① 对①两端左乘　，得 对①两端右乘　，得 上两式相加，即得 ② 对②两端左乘　，得 对①两端右乘 　 得 ③ ④ ③＋④，得 假设命题对　　时成立，即 由归纳原理，命题成立..