第九章 第七讲 空间距离 B教材.pptVIP

●基础知识 一、点到直线、平面的距离 1．由点向直线作 ，这点与垂足间的距离是点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线段． 2．从平面外一点引这个平面的 ，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离． 点面距离的向量公式 二、直线和平面、平面和平面的距离 1．一条直线和一个平面平行，这条直线上 到这个平面的距离叫做这条直线和平面的距离． 作用：直线和平面的距离的定义将线面距转化为点面距，也给出了求直线到平面的距离的方法． 2．两个平行平面的公垂线和公垂线段：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的 ，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做两个平行平面的 ． 3．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的 叫做两个平行平面的距离． 4．夹在两个平行平面间的平行线段相等． 三、异面直线的距离 1．异面直线的公垂线 和两条异面直线 的直线叫做两条异面直线的公垂线． 两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能是异面直线，因此和两条异面直线都垂直的直线有无数条(它们彼此互相平行)，但是和两条异面直线都垂直且相交的直线却有且只有一条． 2．两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的 的长度叫做两条异面直线的距离． ●易错知识 一、公式应用失误． 1．异面直线a、b所成的角为60°，其公垂线为AB，且A∈a，B∈b，又M∈a，N∈b，且AM＝5，BN＝4，AB＝3，则MN＝________. 二、分析问题不全面致误． 2．不共面的四个定点到平面α的距离相等，这样的平面α共有 (　　) A．3个　　　　　 B．4个 C．6个 D．7个 解题思路：①如图，设E、F、G分别为棱AB，AC，AD的中点，则过E、F、G三点的平面P就是高AH的垂直平分面，所以它与A、B、C、D四点等距．四面体有四条高，因此，这样的平面共有四个可作，因此，与A、B、C、D四点等距的平面有四个． ②如图，设K，L分别为BD、BC的中点，则过K、L、F、G四点的平面就是异面直线AB、CD的公垂线段MN的垂直平分面，它与A、B、C、D四点距离相等．四面体有三对异面的棱，这样的平面共有3个，因此，这道题的正确答案是7个．故选D. 答案：D ●回归教材 1．下列命题中： ①PA⊥矩形ABCD所在的平面，则P、B两点间的距离等于点P到BC的距离； ②若a∥b，a?α，b?α，则a与b的距离等于a与α的距离； ③直线a、b是异面直线，a?α，b∥α，则a、b之间的距离等于b与α的距离； ④直线a、b是异面直线，a?α，b?β，且α∥β，则a、b之间的距离等于α与β之间的距离． 其中正确命题的个数有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①正确，如图1，点距离可转化为点与点之间的距离；②不正确，如图2； ③、④正确，如图3、图4，异面直线的距离常常可转化为线面或面面之间的距离．故选C. 答案：C 2．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是 (　　) A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行α或在α内 解析：平面ABC可以与α平行、相交(包括垂直)，故排除A、B、C，选择D. 答案：D 5．(2010·全国Ⅱ，11)与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 (　　) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个 解析：容易发现B1，D和正方体的中心O适合．排除A、B选项，再看对角线B1D上的点，由于直线B1D上任意一点到面A1ADD1、面D1DCC1、面ABCD的距离相等，利用三垂线定理易证该点到直线AB、CC1、A1D1的距离相等，故选D. 答案：D 解决该问题的关键是：由点向直线作垂线．通常是借助于三垂线定理转化成解三角形完成求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离． 【例1】　(2010·重庆，9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (　　) A．只有1个 B．恰有3个 C．恰有4个 D．有无穷多个 解析：解法一：如图，正方体ABCD－EFGH中，AB与FG为互相垂直的异面直线，且易得下列5个点到AB、FG的距离相等；点C、点E、BF的中点、DH的中点、正方体中心点O，故选D. 解法二：如图，四边形ABCD和四边形ADEF都是矩形，且平面ABCD⊥平面ADEF，AD为两平面的交线，即有异面直线AF⊥CD，G、M、N分别是AD、BC、EF的中点，则点G显然符合题意； 作∠MGN的平分线GH，H为角平分线上异于G的任意一点，过H作HP⊥HN于P，HQ⊥GM于Q，则PH＝QH，作PS⊥AF于S，Q