第九章 第四讲 空间角 A版教材.docVIP

第9章 A 第4讲 时间：60分钟　满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．已知二面角α－l－β的大小为30°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(　　) A．30°　　　 B．90°　　　 C．120°　　　D．150° 解析：∵两异面直线所成的角0°＜α≤90°，故排除B、C、D. 答案：A 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线A1E与CD1所成的角等于(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：如图，A1E与CD1所成的角等于∠BA1E，因为△A1BC1为等边三角形，又E为BC1中点，所以∠BA1E＝30°.故选D.答案：D 3．(2010·全国Ⅱ，8)已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：取BC的中点为D，易证面SAD⊥面SBC.作AO⊥SD于O，则AO⊥面SBC，所以∠ABO为直线AB与面SBC所成的角，所以sin∠ABO＝＝＝，故选D. 答案：D 4．(2010·河北邯郸一模)如图，设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且AB＝AC＝，AD＝2，则直线DO和平面ABC所成的角等于(　　)A. B. C. D. 解析：∵DA⊥AB⊥AC，∴以AB、AC、AD为三条棱补形为一个长方体，DO所在直线为长方体的体对角线．如图，∠DD′A即为DO与平面ABC所成的角．又∵AD＝2，AD′＝2， ∴tan∠DD′A＝，故∠DD′A＝. 答案：A 5．(2010·广西九校联考)如图为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线．沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为一点P，则二面角P－AB－D的大小为(　　)A. B. C. D. 解析：该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥， 由PD⊥AD，PD⊥CD，得PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB. 而AB⊥AD，PD∩AD＝D，∴AB⊥平面PAD， ∴AB⊥AD，AB⊥PA. ∴∠PAD为二面角P－AB－D的平面角． 又在Rt△PDA中，PD＝AD，故∠PAD＝， ∴二面角P－AB－D的平面角为. 答案：C 6．(2009·河北衡水中学一模)若二面角α－l－β为，直线m⊥β，则α所在平面内直线与直线m所成角的取值范围是(　　) A．[，] B．(0，) C．[，] D．[，] 解析：直线m与α所成的角是，所以m与α内所有直线所成角的范围是[，]． 答案：C 7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则二面角C－A1E－B的正切值为(　　)A. B. C. D．2 解析：如图所示，过点B作A1E的延长线的垂线，垂足为M，连结CM，由CB⊥平面ABB1A1，得CM⊥A1E，所以∠CMB就是二面角C－A1E－B的平面角，设CB＝2a，则BM＝EBsin∠BEM＝a×＝a，在Rt△CMB中，tan∠CMB＝＝，故应选B.答案：B 8．(2010·东北四市联考)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30 解析：如图由条件可知面ABC⊥面ACD时，三棱锥体积最大，如右图，∠DBE为所求的角，DE＝BE.∴△DBE是等腰直角三角形，故∠DBE＝45°，选C. 答案：C 二、填空题(4×5＝20分) 9．(2009·上海)如图所示，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是________(结果用反三角函数值表示)．解析：连接D1C.∵AD∥BC， ∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角． 在Rt△BCD1中，BC＝2，CD1＝2， ∴tan∠D1BC＝，∴∠D1BC＝arctan. 答案：arctan 10．(教材改编题)在正四面体ABCD中，E为AD的中点，则二面角E－BC－D的余弦值为________． 解析：如图取BC的中点F，连结EF、DF，设正四面体棱长为a，则BE＝CE＝DF＝a，DE＝CF＝a， ∴EF2＝CE2－CF2＝(a)2－(a)2＝a2， ∴EF＝a. 易知BC⊥EF，BC⊥DF， ∴∠EFD即为所求二面角的平面角． ∴cos∠EFD＝＝. 答案： 11．(2010·四川攀枝花一模)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长