変位比例复元.docVIP

[ ] [ 単振動 ] [ ] 単振動 変位に比例する復元力を受ける物体の運動 変位：　　???① A：振幅　　：位相（：角振動数　：初期位相） 速度：　　 加速度：　　???② ①②より　　???③ 復元力の比例定数を k として，運動方程式は これより　　???④ ③④より　角振動数は　 振動の中心が の場合 [ ] 単振動の式 単振動の一般式は として表せるが，これに三角関数の加法定理を用いると 　ただし　， 初期条件「 で ，」の場合は 振幅　 [ ] 周期?振動数 周期（位相が 2π 変化する時間）　 振動数（単位時間あたりの振動回数）　 ばね振り子：　，　 単振り子：　，　 [ ] 力学的エネルギー保存則 運動方程式が　　と表せる場合，振幅を A として （一定） [ ] [ 単振動 ] 右向きを正とするx軸上を原点O（x = 0）を中心として単振動をする質量 m の質点Pがある。単振動の振幅を A，周期を T として，次の問いに答えよ。 (1) Pの単振動の角振動数はいくらか。 (2) Pの速度の最大値はいくらか。 (3) Pの加速度の最大値はいくらか。 (4) Pが受ける力を位置 x の関数として表せ。 [ ] [ 単振動 ] x軸上を原点O（x = 0）を中心として，角振動数 ω で単振動をする原点がある。その位置を x，速度を v として，次の2つの場合について，時刻 t での位置 x と速度 v を表す式を求めよ。 (1) t = 0 のとき x = x0，v = 0 t = 0 のとき x =0，v = v0 [ ] [ 単振動] [ 解　答?解　説 ] 質点Pの単振動の角振動数を ω，初期位相を θ0 とすると，時刻 t での位置 xは　???①　と表せる。 (1) 1周期 T の間の位相変化 ωT が2πに等しいから (2) Pの速度 v は，位置 x を時間 t で微分して これより，その最大値は (3) Pの加速度 a は，速度 v を時間 t で微分して これより，その最大値は (4) Pが受ける力を F とすると ここにをと [ ] [ 単振動 ] [ 解　答?解　説 ] 単振動の初期条件についての問題。角振動数 ω の単振動の振幅をA，初期位相を θ0 とすると，時刻 t での位置 x は これを，三角関数の加法定理を用いて書き直すと ここで　，　とおくと 　???② このとき，速度は 　???③ 初期条件から，のAと θ0 の値を求めることと，の α と β の値を求めることとは同等である。 (1)　　 となるから 初期条件 t = 0 のとき x = x0　より　α = x0 初期条件 t = 0 のとき v = 0　より ωβ = 0　よって　 これらの値を②③に代入して 　　 (2)(1)と同様に 初期条件 t = 0 のとき x = 0　より　α = 0 初期条件 t = 0 のとき v = v0　より ωβ = v0　よって　 よって　　　 [ ][ 単振動 ] 滑らかな水平面上に，一端に小球A のところにストッパーSを固定する。小球AはSにぶつかるとはねかえる。AとSのはね返り係数は である。 (3) ばねを a だけ縮めて静かに放すAが最初にぶつかるまでの時間および衝 突直後のAの速度を求めよ。 [ ][ 単振動 ] [ 解　答?解　説 ]　これより　　よって　 一般解は 　　 　　 (1) 初期条件（t = 0でx = 0，v = v0）より 　よって　 　よって　 よって　 (2) 初期条件（t=0でx = a，v = 0）より 　　 　　　よって　　より　 よって　　より　 よって　 (3) 初期条件（t = 0でx = －a，v = 0）より，衝突までの解は 　よって　　より　 よって　　より　 よって　 　　　　 したがって，最初の衝突が生じるのは， 　　　　よって　　より　 このとき衝突直前の速度は 　　　 　　 衝突直後の速度は 　　　 [ ][ 単振動 ] 内壁のなめらかで鉛直な筒の中に，下端を固定したばね定数 k のばねを立て，上端に物体A（質量 m ）を結びつけて，上下に振動させる。ばねが自然長のときのAの高さを原点として鉛直上向きにy軸をとり，Aの位置を y で表す。 Aをつりあい点よりさらに a だけ押し下げて静かに放した。振幅と振動の中心を求めよ。また，Aの速さをyの関数として表せ。ただし重力加速度の大きさをgとする。 [ ][ 単振動 ] [ 解　答?解　説 ] そこで，つり合い点 を原点とする