向量的向量积.pptVIP

* 第四节 向量的向量积 第一模块 向量代数与空间解析几何 　它的正方向由右手法则确定， 定义 3 设有两向量 a，b ，若向量 c 满足: (2) c 垂直于 a，b 所确定的平面， 　　　　　　　　　则称向量 c 为 a 与 b 的向量积， 记为 a × b，即 c = a × b . 因此向量积也称为叉积. 一 、两向量的向量积的定义与性质 由向量积的定义可知， a ×b 的模等于以 a、b 为邻边的平行四边形面积. 向量积具有下列运算规律： 由向量积的定义可知: (1) i ×j = k ， j ×k = i ， k×i = j ; (2) 两个非零向量 a ，b 互相平行的充分必要条件是 a×b = 0. c = a×b a b 所以 sin (a , b) = 0. 当 a ，b 中至少有一个为零向量时， 事实上， 若a // b ， 则 ( a , b ) = 0 或 ? ， 即有 因此 a ? b = 0. 当 a、b 为非零向量， 反之， 且 a ? b = 0 时，则 sin (a , b) = 0. 从而断定 (a , b) = 0 或 ?， 即 a // b . 我们规定零向量与任何向量平行. 这样，两个向量平行的充要条件是这两个向量的向量积为 0 . 由此可知: 利用向量积的运算规律有： 二、向量积的坐标计算式 为了便于记忆， 我们借用行列式记号， 将上式表示为： 由于两个向量 a，b 平行的充要条件是 a ? b = 0， 因此，可将 a，b 平行的充要条件表示为: 当 bx，by，bz 全不为零时，有 我们约定相应的分子为零，例如: 当 bx，by，bz 中出现零时， 应理解为: 由公式得 解 例1 求以 A(2, －2 , 0)，B(－1, 0, 1 )，C (1, 1, 2 )为顶点的 △ABC 的面积. 例 2 解 由向量积的定义可知 △ABC 的面积 故 △ABC 的面积 若 a ? b = c，则 c 同时垂直于a 和 b ， 例 3 求同时垂直于向量 和 解 由向量积的定义可知， 因此，与 c＝a ? b 平行的单位向量应有两个： 和 且 所以 a = - ( b + c ) , 从而 例 4 已知 a + b + c = 0，求证 证明 因为 a + b + c = 0 ， 同理可证 所以有 c b b a ′ = ′ *