2006--2013年河南高考理科数学较难题及答案.docVIP

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） △ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值. 解：由 所以有 当 （18）（本小题满分12） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数. 求的分布列和数学期望. 解： （Ⅰ）设A1表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2， B1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2， 依题意有 所求的概率为 P = P（B0·A1）+ P（B0·A2）+ P（B1·A2） = （Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B（3，） ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 p 数学期望 （19）如图，、是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段. 点A、B在上，C在上，AM = MB = MN. （Ⅰ）证明； （Ⅱ）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值. 解法： （Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MNl1 = M， 可得l2⊥平面ABN. 由已知MN⊥l1，AM = MB = MN， 可知AN = NB 且AN⊥NB又AN为 AC在平面ABN内的射影， ∴ AC⊥NB （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB， ∴ AC = BC，又已知∠ACB = 60°， 因此△ABC为正三角形。 ∵ Rt △ANB = Rt △CNB。 ∴ NC = NA = NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角。 在Rt △NHB中， 解法二： 如图，建立空间直角坐标系M－xyz， 令 MN = 1， 则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。 （Ⅰ）∵MN是l1、l2的公垂线，l2⊥l1， ∴l2⊥ 平面ABN， ∴l2平行于z轴， 故可设C（0，1，m） 于是 ∴AC⊥NB. （Ⅱ） 又已知∠ABC = 60°，∴△ABC为正三角形，AC = BC = AB = 2. 在Rt △CNB中，NB =，可得NC =，故C 连结MC，作NH⊥MC于H，设H（0，λ，）（λ 0）. ∴HN ⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角. 又 （20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭 圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量. 求： （Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）||的最小值. 解：（Ⅰ）椭圆的方程可写为 ， 式中 得，所以曲线C的方程为 设，因P在C上，有，得切线AB的方程为 设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得 由 的M的坐标为（x，y），由满足C的方程，得点M的轨迹方程为 （Ⅱ）∵ ∴ 且当时，上式取等号， 故的最小值为3。 （21）（本小题满分14分）已知函数 （Ⅰ）设，讨论的单调性； （Ⅱ）若对任意恒有，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）的定义域为求导数得 （i）当a=2时，（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以为增函数。 （ii）当在（－∞，1），（1，+∞）为增函数。 （iii）当 令 当x变化时，的变化情况如下表： （1，+∞） + － + + ↗ ↘ ↗ ↗ （1，+∞）为增函数， 为减函数。 （Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知：对任意恒有 （ii）当时，取，则由（Ⅰ）知 （iii）当时，对任意，恒有，得 综上当且仅当时，对任意 恒有 （22）（本小题满分12分）设数列的前