2012-2013学年概率论期中复习题讲评.docVIP

期中复习讲评 第1，2，3章主要的知识点： 求逆公式 P()=1- P(A) 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)=P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A(B时，有P(A-B)=P(A)-P(B) 注意： A-B = A = A-AB = (A∪B)-B 条件概率公式：P(A|B)= ; (P(B)0) P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)0, P(B)0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)0) 注意： 事件A与事件B互不相容（互斥）( AB=( 事件A与事件B对立 ( A＝ 事件A与事件B相互独立 ( 事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)， 抽签公平性原理：抽签不分先后，获奖的概率是一样的。 古典概型的前提 是(={(1, (2, (3,…, (n,}, n为有限正整数，且每个样本点(i出现的可能性相等。 P(A)= = . 全概率公式：P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,…,An构成(的一个分斥。 贝叶斯公式：P(Ak|B)= = 分布函数定义：F(x)=P{X≤x}, -(x+( 分布函数(x)实质上表示随机事件{X≤x}发生的概率。 分布函数F(x)的性质 (1)0≤F(x)≤1; (2) F(x)=0, F(x)=1 (3)单调非减，当x1x2时，F(x1)≤F(x2) (4)右连续 F(x)=F(x0) 离散型随机变量的概率分布简称为分布列（或分布律）： 其中每一个 pi≥0 且 =1 1)两点分布X~(0,1)；X的取值只有0或1，其概率为P{X=0}=p, P{X=1}=1-p 2)二项分布X~B(n,p)；分布律为 P{X=k}= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,…,n) 其中 0p1 3)泊松分布X~((()；分布律为 P{X=k}= e-( (k=0,1,2,3,…) 。 连续型随机变量中，分布函数F(x)，密度函数f(x)，概率P{aX(b}之间的关系。 常见连续型型随机变量的分布： 1)均匀分布X~U[a,b]；密度函数 f(x)= 分布函数F(x)= 2)指数分布X~exp(()；密度函数 f(x)= 分布函数F(x)= 3)正态分布X~N((,(2)；密度函数f(x)= e (-∞x+∞) 分布函数F(x)= (edt = (( ) 标准正态分布N(0,1)，它的分布函数((x)可查表得到，一般F(x)=(( )。 随机变量的函数的概率分布： 例1设X的分布律为：，求Y=(X-1)2的分布律。 [解]：先由X的值确定Y的值，得到，将Y的值相同的X的概率合在一起，得到Y的分布律。( 例2设随机变量X的分布函数为FX(x)，概率密度为fX(x)，求随机变量Y=3X+2的分布函数FY(y)与概率密度fy(y). [解]：FY(y)=P{Y(y}= P{3X+2(y}= P{X(}= FX() fy(y)= FY((y) = (FX())( = fX() . ( 连续型的函数的公式法： 设X为连续型随机变量，其密度函数为fX(x)，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域[(,(]，且g((x)(0，记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的密度函数为fY(y)= 连续型的函数的直接变换法(分布函数法)： FY(y)=P{Y(y}= P{g(x)(y}= P{X(S}，其中S={x|g(x)(y}，然后再把FY(y)对y求导，即得fY(y) fY(y)= 二维离散型随机变量及其概率分布： P{X=xi,Y=yj}=pij , 其中 pij=1 且 pij(0 可用一个分布列表或分布列矩阵 (pij) 来表示 X的边缘分布列为 P{X=xi}=pij = pi* Y的边缘分布列为 P{Y=yj}=pij = p*j 二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)= ((f(u,v)dudv f(x,y) 称为随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)(0, ((f(x,y)dxdy=1 , =f(x,y) 利用密度函数求概率 P{(X,Y)(D}= 二维连续型随机变量(X,Y)的边缘分布, fX(x)，fY(y) 称为边缘密度函数 fX(x)= (f(x,y)dy fY(y)= (f(x,y)dx 随机变量X与Y相互独立 (