守恒定理(习题课).docVIP

第四章能量守恒习题课课堂练习(14) 1.两质量分别为m1和m2的物体用一劲度为K 的轻弹簧相连放在光滑的水平桌面上，当两物体相距为X时，系统由静止释放，已知弹簧的自然长度为X0，当两物体相距为X0时，m1的速度大小： 解： 由动量守恒得：m1v1+m2v2=0 机械能守恒得：(1/2)K(X-X0)2=(1/2)m1v12+(1/2)m2v22 v1=(X-X0)[m2k/(m12+m1m2)]1/2 2.A物体以一定的动能EK与静止的B物体发生完全非弹性碰撞，设mA=2mB,则碰后两物体的总动能为： 解：由动量守恒得：mAvA=(mA+mB)v，EK=(1/2)mAvA2 两物体的总动能为：（2/3）EK 3.一弹簧变形量为X时，其恢复力为F=2ax-3bx2，现让该弹簧由X=0变形到X=L，其弹力的功为： 解：由功的定义得：A=2）dx=aL2-bL3 4.如图用一条细线把质量为M的圆环挂起来，环上有两个质量为m的小环，它们可以在大环上无摩地滑动。若两个小环同时从大环顶部释放并沿相反的方向自由滑下，试证：如果m3/2M，则大环在m落到一定的角位置θ时会升起，并求大环开始上升时的角度θ0。 解：要使大环升起，小环对大环的压力 须克服大环的重力。 先分析小环。 θ θ 法线方向： R mgcosθ-N=mv2/R N=mgcosθ-mv2/R 由机械能守恒得：mgR(1-cosθ)=(1/2)mv2 v2=2Rg(1-cosθ) ∴ N=3mg(cosθ-2/3) 由此式可以判定，θ不到九十度，N就可以改变方向，因此大环有可能被顶起。要使大环被顶起，只须：2Ncosθ=Mg， 即 2*3mg(2/3-cosθ)cosθ=Mg，mgcos2θ-4mgcosθ+Mg=0 要使方程有解，必须：16m2g2-24mMg2≧0， 即 m≧(3/2)M ∴得证。 大环开始上升的角度为：cosθ=[2m+(4m2-6mM)1/2]/(6m) 根号前取“+”号，是此时θ角较小。 5.两个质量分别为m1和m2的木块A和B，用一个质量忽略不计，劲度为K的弹簧连接起来，放置在光滑水平面上，使A紧靠墙壁，如图所示，用力推木块B使弹簧压缩，然后释放，已知m1=m,m2=3m。 求（1）释放后，A、B m1 m2 A B 解：由机械能守恒得： （1/2）KX02=（1/2）m2v2 v=X0(K/3m)1/2 由动量守恒得：m2v=(m1+m2)V，V=(3/4)X0(K/3m)1/2 V是两个物体的共同速度。此时弹簧有最大伸长量。 由机械能守恒得： （1/2）KX2=（1/2）KX02-（1/2）（4m）V2 X=X0/2 M的三棱柱体，其上又放一质量为m的小三棱柱体，两柱体间的接触光滑，三棱柱倾角为θ，开始时 ，两三棱相对静止。当小三棱柱相对大三棱柱斜面运动，在竖直方向下降h时，试证大三棱柱对地的速度为 V=[2ghm2cos2θ/(M+m)(M+msin2θ)]1/2 θ m 证：设m相对M的速度为v, M V是M对地的速度在。 θ 系统在水平方向动量守恒 M(v+V)‖+MV‖=0 系统机械能守恒： mgh=(1/2)m[(vcosθ-V)2+(vsinθ)2]+(1/2)MV2 联立上面两式，可以得到： V=[2ghm2cos2θ/(M+m)(M+msin2θ)]1/2 7.用一弹簧把质量各为m1和m2的两木块连起来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而m2m1，问（1）对上面的木块必须施加多大的力F，以便在F突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使下面的木块提离地面？（2）如m1和m2互换位置，结果有无改变？ 解： 要使被提起，弹簧应伸长， 伸长后受到一个向上的弹力。此时有： m1 m2g=KΔx Δx=m2g/K 从F被撤走，一直到被提起，整 m2 个过程机械能守恒。 m1g[m2g/K+(F+m1g)/K]+(1/2)K(m2g/K)2 =(1/2)K[(F+m1g)/K]2 注：(F+m1g)/K是弹簧的初始压缩量。 F=(m1+m2)g 若m1和m2互换位置，相当于令m1=m2,m2=m1.所以结果不变。