Ch5.4实对称矩阵的相似对角化.pptVIP

思考题 思考题解答 必要性： 若存在正交矩阵P，使得 ， 则A与B相似， 从而A与B有完全相同的特征值。 例 设二阶实对称矩阵A的一个特征值为1，对应 于1的特征向量为 ，若 ，求A。 解 由 得矩阵A的另一个特征值为-2， 设其对应的特征向量为 ，则 。 可得 。所以二阶实对称矩阵A为 例 设3阶实对称矩阵A的特征值是l，2，0， 矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是 ，求齐次方程组 AX＝0的通解． 解 由于对应于不同特征值的特征向量正 交，所以 ，得 。设应于特征值0 的特征向量为 ，则 例 已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向 量，证明A是对称矩阵． 3阶实对称矩阵A为 齐次方程组AX＝0的通解为 例 设3阶对称矩阵Ａ的特征值是 是Ａ的属于 的一个特征向量, 记B=A5 -4A3 +E 其中E为3阶单位矩阵. 验证 是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部 特征值的特征向量． (II) 求矩阵Ｂ． 例 （2010数学三） 设 正交矩阵Q使得 为对角矩阵，若Q的第一列为 ，求a 和Q。 解 由于存在正交矩阵Q使得 为对角 矩阵，且Q的第一列为 ，则A的对应 于特征值 的特征向量为 ， 故 即 由此可得 由 的A的特征值为 ，且对应于 的特征向量为 ，同理可求 对应于 的特征向量为 ， 对应于 的特征向量为 。 单位化得： * 高等院校经济管理类专业 经济数学基础系列教材 线 性 代 数 §5.2 矩阵的相似关系 §5.3 矩阵的相似对角化 §5.1 特征值与特征向量 第5章 特征值与特征向量 §5.4 实对称矩阵的相似对角化 §5.5 若当标准型简介 在上一节讨论了一般方阵的相似对角化问 题，并看到了并非所有方阵都能与对角阵相似。 本节将讨论一类特殊的矩阵——实数域上的对 称阵（简称为实对称阵）的相似对角化问题， 并说明实对称阵总是可以对角化的。 §5.4 实对称矩阵的相似对角化 定理5.8　对称矩阵的特征值为实数. 证明：设 是A的特征值， 是A属于 的特征向量，则 对上式两边取共轭向量，有 即 再对上式求转置 一、实对称阵的特征值与特征向量的性质 由于A为实对称阵，故 ， 从而 但 ，故 ，于是 ，这说明 必为实数。 定理5.9 实对称阵A的属于不同特征值的特征向量 必定正交。即若 是A的互异特征值， 分 别是对应的特征向量，则必有 。 证明：因为 （ ）， 且 , 则有, 但 ，故有 所以 与 正交 定理5.10 设A是n阶实对称矩阵， 是A的n个特征值（包括重数在内），则必存在正交矩阵P，使得 下面的定理表明了任意一个实对称矩阵总 是可以对角化的，并且可以通过正交矩阵来实 现，这是一个非常重要的结论。 二、实对称矩阵的对角化 证明：对矩阵的阶数n应用数学归纳