2010高考数学二轮复习专题24：基本初等函数及限时训练.docVIP

专题二十： 【走进高考】1. (09·广东)是函数的反函数，图像过点，则( B )A. B. C. D. 2. (09·江西) 设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为( B ) A.B. C. D.不能确定 3.(09·. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【解析】（Ⅰ）， 曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）由，得. 若，则当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 若，则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. （Ⅲ）由（Ⅱ）知若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增； 若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增. 综上，函数在区间内单调递增时，的取值范围是. 【考点聚焦】 一、1.二次函数的解析式 (1)一般式：； (2)顶点式：； (3)零点式：. 2.二次函数的图象与性质 a＞0 a＜0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点 单调性 在上递减； 在上递增. 在上递增； 在上递减. 最值 当时， 当时， 二、指数函数与对数函数 批数函数 对数函数 定义 定义域 R 值域 R 图象 特征点 (0，1) (1，0) 单调性 a＞1时，递增；0＜a＜1时，递减. a＞1时，递增；0＜a＜1时，递减. 三、幂函数 1.幂函数的性质 (1)在区间上都有意义； (2)图像都通过点； (3)当时，在区间上递增，当时，在区间上递减. 2.在第一象限的图象 【经典例解】 题型一：【例1】，设方程的两个实根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：； （2）如果，，求的取值范围. 【解析】，则的二根为和. （1）由及，得，即， 即，两式相加得，所以，. （2）由,得. 又，所以同号. ∴ ，，等价于或, 即或， 解之得 或. 【点拨】本题考查转化为关于a、b的不等式，进而求出的取值范围即可求解；根据一个根的范围和两个根的距离确定另一个根的范围，进而转化为关于b的不等式即可求解. 【变式】已知二次函数和函数（）若为偶函数，试判断的奇偶性；（）方程有两个不等的实根证函数在上是单调函数【解析】（）为奇函数（）由得△，且，得，即∴ 函数在上是单调函数题型二：【例2】时x的取值范围. 【解析】是增函数，所以等价于　　① (1)当时，，①式恒成立； (2)当时，，①式化为，即； (3)当时，，①式无解. 综上的取值范围是. 【点拨】本题【变式】若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ）A. m≤－1 B. －1≤m0C. m≥1 D. 0m≤1 【解析】题型三：【例3】为常数）. （1）求函数f(x)的定义域； （2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性； （3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围. 【解析】. ∵a＞0，x≥0 ， ，∴f(x)的定义域是. （2）若a=2，则. 设 ， 则， ，故f(x)为增函数. （3）设. ， . ① ∵f(x)是增函数，∴f(x1)＞f(x2)，即. ② 联立①②，知a＞1，∴a∈(1，+∞). 【点拨】本题以对数函数为载体考查复合函数的性质． 第(1)问根据对数式的真数大于0即可求出其定义域； 第(2)问根据判别复合函数的单调性的法则即可求解； 第(3)问应用增函数的定义建立不等式即可求解，本小问还可用导数法求解，过程更简洁. 【变式】设函数f(x)=loga(x－3a)(a0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围【解析】(1) g(x)=loga(2)a的取值范围是0＜a≤题型：【例】已知函数，且（1）求的值；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由【解析】，∴， 即，∵，∴. （2）解法一：，. 当，时，； 当时，，∴这样的不存在； 当，即时，，这样的不存在. 综上，得. 解法二 抛物线开口向下， 或解得 此时. 所以函数的值域是 所以存在符合条件的. 【点拨】由条件建立关于k的不等式求出k的取值范围，再根据k为整数即可求解；根据k的值，利用关系式求出g（x）的解析式，再根据其解析式的结构特征即可求值域，进而求出p的值. 【规律总结】1.应用基本初等函数的性质时要灵活运用各种变换技巧，如配方、分解因式、分子或分母有理化、拆项、添项、换元等等.