运用导数探究曲线的切线问题.docVIP

导数类型题 运用导数探究曲线的切线问题 导数与曲线的切线有缘，因为的几何意义是曲线y=f(x)在点（x0 ，f(x0)和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、． （1）设，试求函数的表达式； （2），使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 分析：由题意点P在曲线外，故求切线、的方程，须设出、两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的或导出矛盾。 解：（1）、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， 同理，由切线也过点，得． 由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） ， 把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为 ． （2）、与共线时，，＝， 即＝，化简，得， ，． 把（*）式代入，解得． 存在，使得点、与三点共线，且 ． 点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。解题的关键是借助导数作为工具，采用设而不求的方法，求出、两点的横坐标所满足的方程，进而运用两点间的距离公式求出函数的表达式． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：． 分析：本题第一问，由导数的几何意义容易求解切线方程问题；第二问难点在于由条件“过点可作曲线的三条切线”找到解题的切入点，关键是先把问题转化为方程问题来求解。 解：（1）求函数的导数；．曲线在点处的切线方程为：，即 ． （2）如果有一条切线过点，则存在，使． 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根．记 ，则 ．当变化时，变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ． 点评：从本题可看出，导数已成为高考命题的一个重要工具，通过导数实现了函数与方程、不等式、曲线的切线等多个知识点的交汇，并渗透着数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法。此题只要把切线问题转化为方程根的个数问题，运用数形结合，很容易发现有三个相异的实数根时，极大值和极小值只能满足和，但完整的代数推理，应该将前三种情况也要讨论出来才行。 例3 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的 垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 分析:由题意，本题应该先设出点P、Q的坐标，进而表示出点M、N的横坐标，实质上是要分别写出在点M、N处的切线斜率，然后再作判断。 解：设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0x1x2. 则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即，①则 = 所以 设则② 令则 因为时，，所以在）上单调递增. 故 则. 这与②矛盾，假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 点评：本题主要考查函数、导数、解析几何等知识，以及分析问题和解决问题的能力。此题关键是使用设而不求法，运用导数求斜率。解题的难点在于对①式的变形能力及运用导数证明等式②不成立，充分体现了以导数为工具的思维取向，使数学充满活力和无穷魅力。 走出定积分运用的误区 通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．是区间[a，b]上的连续函数，并且=，那么=． 例1．计算． 错解：== =++=+－=－． 错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而导致错误．根据微积分基本定理，相应的公式是==，而不是=． 正解：== =++=+－=． 评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误． 2．几何意义出错 我们知道，当函数在区间[a，b]上恒为正时，定积分的几何意义是以曲线为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴，函数的图象以及直线x=a，x=b之间各部分面积的代数和． 例2．如图，函数在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为（ ） A． B．－ C．―― D．―+ 错解：选择答案：A或B或C． 错解剖析：错误的原因在于对微积分的