2013届解答题训练2.docVIP

为数学120分而奋斗——解答题训练(二) 姓名： 学号： 1．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－)， n＝(cos2B,2－1)，且m∥n. (Ⅰ)求锐角B的大小； (Ⅱ)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值． 2．已知 。（1）讨论的单调性，并求出的最大值；（2）求证：； 3．已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 4.如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。 1．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－)， n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n. (Ⅰ)求锐角B的大小； (Ⅱ)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值． 解析　(Ⅰ)m∥n?2sinB(2cos2－1)＝－cos2B?2sinBcosB＝－cos2B?tan2B＝－. ∵02Bπ，∴2B＝，∴B＝. (Ⅱ)已知b＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)． ∵△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝ac≤， ∴△ABC的面积S△ABC的最大值为. 2．已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 提示：等式两边去倒数，再移项，转换成等差数列求解，答案： 3.如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。 【解】（Ⅰ）解法一：连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得. 解法二；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。于是 ， ， 故，从而 (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平 面的一个法向量，设所求二面角为， 则,所求二面角的大小为 （Ⅲ）在棱上存在一点使.由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且 设 则 而 ，即当时， 而不在平面内，故。 4．（本小题满分12分）已知 。 （1）讨论的单调性，并求出的最大值； （2）求证：； （1），令，得，令得，又的定义域为（0，+）， 在上递增，在递减，从而. （2）要证即证， ，∴只需证：. 令，则， 令，得0x1, 得(x0舍去) ∴g(x)在（0，1）上递增，在（1，+）上递减， 成立，即成立. 第3页