江苏省高考数学等差、等比数列的概念和性质推荐.docVIP

1.(2010·通州模拟) 数列a1+2，…， ak+2k，…，a10+20共有10项，且其和为240，则a1+…+ak+…+a10之值为 . 解析：(a1+2)+…+(ak+2k)+…+(a10+20) =(a1+…+ak+…+a10)+(2+…+2k+…+20) =(a1+…+ak+…+a10)+110 =240. 所以a1+…+ak+…+a10=130. 2.(2010·江苏通州中学高模)已知数列{an}对于任意p，q∈N*有ap+aq=ap+aq，若a1= ，则a100=　 . 解析：取p=n，q=1，所以an+1-an= ， 所以数列{an}是公差、首项都为的等差数 列，a100= + (100-1)=40. 例1：已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足： ①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素； ②在定义域内存在0x1x2使得不等式f(x1)f(x2)成立． 设数列{an}的前n项和Sn=f(n)． (1)求函数f(x)的表达式； (2)求数列{an}的通项公式． 分析:第(1)问由已知条件确定a的值时要注意“在定义域内存在0x1x2使得不等式f(x1)f(x2)成立”与“函数y=f(x)在(0，+∞)上单调递减”之间的区别 ；第(2)问主要是利用an与Sn的关系． 解析： (1)因为不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素， 所以判别式=a2-4a=0，解得a=0或a=4. 当a=0时，函数f(x)=x2在(0，+∞)上递增，不满足条件②； 当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减，满足条件② 综上得a=4，即f(x)=x2-4x+4. (2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2， 当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5， 所以an= . 变式1.等差数列{an}中，公差d 0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项公式． 解析：设等差数列an 的公差为d，则，a2·a2=a1a4， 即(a1+d)2=a1(a1+3d)，即d2-a1d=0. 因为d 0，所以d=a1，等比数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…的公比q= = =3， 所以akn=a1·3n+1. akn既是等差数列{an}中的第kn项，同时又是等比数列 a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…中的第(n+2)项， 所以a1+(kn-1) ·a1=a1·3n+1，kn=3n+1. 分析：立足基础，注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式，注重代数式的有序变形． 分析：(1)注意基本量及其关系的运用，知三求二；(2)不可能、不成立问题常通过举反例来处理，一般性证明宜用反证法． 1．等差、等比数列的结论，如 (1)an是等差数列，Sn= i. (ⅰ)m+n=p+q； (ⅱ)数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…，是等差数列； (ⅲ)S2n-1=(2n-1)an. (2)an是等比数列，Sn= i. (ⅰ)m+n=p+q； (ⅱ)数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(q 1)是等比数列； (ⅲ)a1a2…a2n-1=(an)2n-1. 2．一般数列求和的几种常用方法、和与项之间的关系： (1)分项求和、并项求和、裂项相消、倒序相加、错位相减等； (2)Sn=a1+a2+…+an an = (2010·安徽卷)(本小题满分14分)设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：“对任何n∈N*，都有 + +… + = .” 证明：(1)先证必要性 设数列{an}的公差为d.若d=0，则所述等式显然成立．(2分) 若d 0，则 + +…+ = = (2)再证充分性 依题意有 + + …+ = ；① + + …+ + ，② ②-①，得 - ③ 在上式两端同乘a1an+1an+2， 得a1=(n+1)an+1-nan+2；　　③ 同理可得a1=nan-(n-1)an+1. ④ ③-④，得2nan+1=n(an+2+an)， 即an+2-an+1=an+1-an，所以an是等差数列． 由(1)(2)命题成立． 1．证明题要注意格式规范； 2．分必要性、充分性两大块分别处理．先从容易处即必要性的证明下手