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精锐教育学科教师辅导讲义 学员姓名：华君凯 年 级：高二 在读学校： 三附中 学科教师：尹丽红 辅导科目：数学 班主任：张春香 授课次数：2 课 题 三角函数的图像与性质 授课日期及时段 2012-1-17 8:00~10:00 教学目的 掌握函数的基本概念和性质，及函数的一些简单的性质应用要能灵活运用。 教学内容 (一)复习指导 1．能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2??]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等) 3．理解正切函数在区间的单调性． 4．了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 5．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． (二)解题方法指导 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 增区间 减区间 增区间 减区间 增区间 减区间 对称性 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 （三）题型讲练 例1．求函数的定义域 例2．求下列函数的值域． (1)y＝sin2x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)． 练习1．已知函数，该函数的图象可以由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到． 2．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式． 例3．已知函数　f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0φπ，ω0)为偶函数，且函数　y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为. (1)求　f()的值； (2)将函数　y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数　y＝g(x)的图象，求　g(x)的单调递减区间． 解析：(1)　f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ＝2[sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)]＝2sin(ωx＋φ－)． 因为　f(x)为偶函数， 所以对x∈R，f(－x)＝　f(x)恒成立， 因此sin(－ωx＋φ－)＝sin(ωx＋φ－)， 即－sinωxcos(φ－)＋cosωxsin(φ－) ＝sinωxcos(φ－)＋cosωxsin(φ－)， 整理得sinωxcos(φ－)＝0. 因为ω0，且x∈R，所以cos(φ－)＝0. 又因为0φπ，故φ－＝. 所以　f(x)＝2sin(ωx＋)＝2cosωx. 由题意得＝2·，所以ω＝2.故　f(x)＝2cos2x. 因此f()＝2cos＝. (2)将　f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x－)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(－)的图象． 所以g(x)＝f(－)＝2cos[2(－)]＝2cos(－)． 当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减． 因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z)． 练习3 (2011年黄冈)已知函数f(x)＝2cos(x＋)[sin(x＋)－cos(x＋)]． (1)求f(x)的值域和最小正周期； (2)若对任意x∈[0，]，m[f(x)＋]＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)－2cos2(x＋)＝sin(2x＋)－[cos(2x＋)＋1]＝sin(2x＋)－cos(2x＋)－＝2sin(2x＋)－. ∵－1≤sin(2x＋)≤1，∴－2－≤2sin(2x＋)－≤2－，又T＝＝π， 即f(x)的值域为[－2－，2－]，最小正周期为π. (2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，∴sin(2x＋)∈[0,1]， 此时f(x)＋＝2sin(2x＋)∈[0,2]． 由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋＝－， ∴0≤－≤2，即，解得m≤－1. 即实数m的取值范围是(－∞，－1]． 例四．（高考题）已知函数　f(x)＝. (1)求　f(－π)的值； (2)当x∈[0，]时，求　g(x)＝　f(x)＋sin2x的最大值和最小值． 解析：(1)　f(x)＝ ＝＝ ＝＝2cos2x. f(－)＝2cos(－)＝2cos＝2cos ＝－2cos＝－. (2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)， x∈[0，]?2x＋∈[，]， ∴x＝时，g(x