5.3 线性系统的稳定性分析 (PPTminimizer).ppt

Ch.5 李雅普诺夫稳定性分析 目录(1/1) 目 录 概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 本章小结 李雅普诺夫方法在线性系统的应用(1/2) 5.3 线性系统的稳定性分析 本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 矩阵李雅普诺夫方程的求解 线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析 李雅普诺夫方法在线性系统的应用(2/2) 由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。 由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。 目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法。 李雅普诺夫方法在线性系统的应用(3/2) 本节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统、 线性时变连续系统和 线性定常离散系统, 如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性。 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/21) 5.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析 设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/21)—定理5-7 上述第(3)点可由如下定理中得到说明。 定理5-7 线性定常连续系统 x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程 PA+A?P=-Q 的解,并且正定函数V(x)=x?Px即为系统的一个李雅普诺夫函数。 □ 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/21) 证明 (1) 先证充分性。 即证明,若对任意的正定矩阵Q,存在正定矩阵P满足方程 PA+A?P=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/21) 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(5/21) 根据渐近稳定性定理(定理5-4),即证明了系统的平衡态xe=0是渐近稳定的,于是充分性得证。 (2) 再证必要性。 即证明:若系统在xe=0处是渐近稳定的,则对任意给定的正定矩阵Q,必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+A?P=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程 PA+A?P=-Q 的正定矩阵P。 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(6/21) 证明过程为： 对任意给定的正定矩阵Q,构造矩阵P如下 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(7/21) 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(8/21) 将矩阵P的表达式(5-15)代入矩阵方程 PA+A?P=-Q 可得: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(9/21) 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(10/21)—推论1 推论5-1 如果线性定常系统x’=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的,那么李雅普诺夫代数方程 PA+A?P=-Q 对给定的任意正定矩阵Q,存在唯一的正定矩阵解P。 □ 证明 用反证法证明。 即需证明: 李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解,但该系统是渐近稳定的。 设李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解P1和P2,则将P1和P2代入该方程后有 P1A+A?P1=-Q P2A+A?P2=-Q 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(11/21) 两式相减,可得 (P1-P2)A+A?(P1-P2)=0 因此,有 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(12/21) 由定理5-7可知,当P1和P2为满足李雅普诺夫方程的正定矩阵时,则系统为渐近稳定的。 故系统矩阵A为渐近稳定的矩阵,矩阵指数函数eAT将随着T→?而趋于零矩阵,即 P1-P2=0 或 P1=P2 ? 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(13/21) 在应用上述基本定理和推论时,还应注意下面几点: