数分21-5.ppt

一、三重积分的定义 二、三重积分的计算 1、利用柱面坐标计算三重积分 2、利用球面坐标计算三重积分 三、小结 如图，柱面坐标系中的 体积元素为 于是， 再根据 ? 中 z，r，? 的关系，化为三次积分。 一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 ? 积分。 例6 利用柱面坐标计算三重积分 其中? 解 (1) 画 ? 图 (2) 确定 z，r，? 的上下限 将 ? 向 xoy 面投影，得 或 过 (r, ? )∈D 做平行于 z 轴 的直线，得 即 过 (r, ? )∈D 做平行于 z 轴 的直线，得 于是， 解 求交线： 将 ? 向 xoy 面投影，得 或 即 过 (r, ? )∈D 做平行于 z 轴 的直线，得 或 例7 计算三重积分 其中 ? 是由曲 解 将 ? 向 xoy 面投影，得 或 过 (r, ? )∈D 做平行于 z 轴 的直线，得 即 或 过 (r, ? )∈D 做平行于 z 轴 的直线，得 即 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为 由 所以 球面坐标系中的体积元素为 如图， 再根据再 ? 中 r，? ， ? 的关系，化为三次积分。 一般，先对 r 积分，再对 ? ，最后对 ? 积分。 * * * §5 三重积分 一、三重积分的定义 二、三重积分的计算 三、 三重积分换元法 三重积分的性质与二重积分的类似。 特别地， 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 得 是 x、y 的函数。 注意 三重积分化为三次积分的过程： 得到 事实上， 得到 事实上， 得到 事实上， 得到 解 于是， 于是， 得到 解 得到 解 于是， 得到 解 解 原式 因此， 解 如图, 定 理 设变换T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)将 uvw 空间中的有界闭区域 ?uvw 变成 xyz 空间中的有界闭区域?xyz , 且满足 1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)?C1(?uvw) 三 三重积分换元法 2) ? 0, (u, v, w)??uvw 若 f (u, v, w)?R(?), 则有 例5. 计算 其中?是由曲面 所围成的区域. 解:　作变换 而 由公式(5), 规定： 简单地说，柱面坐标就是 xoy 面上的极坐标 + z 坐标 柱面坐标与直角坐标的 关系为 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 从而 = r 所以, 一般, ?r? z 表为: r1(? ) ? ? ? r2(? ), z1(r,? ) ? ? ? z2 (r ,? )). ? ? ? ? ? ,