第四章向量空间第1-3节.ppt

A? 所以 r(A)=r(B)≤r. 反设 r(B)=r(A)=tr, 即 B 有一 t 阶子式不为零，不妨设是 B 的左上角的 t 阶子式 D 不为零，即 下面证明? r(A)≥r. 当 n= t 时，则由克莱姆规则知方程组 (1) a11x1+a21x2+…+at1xt=ar1, a12x1+a22x2+…+at2xt=ar2, ……………… a1tx1+a2tx2+…+attxt=art, 有唯一解(k1, k2, …, kt), 即 k1?1+ k2?2 +…+kt?t = ?r 于是 ?1, ?2, …, ?t, ?r线性相关，与?1, ?2, …, ?t, …, ?r是极大无关矛盾. 当 nt 时，任取 tl≤m, 取 A 的前 t 行及第 r 行，A 的前 t 列及第 l 列交叉处元素构成的一 t+1子矩阵 A1： 则 | A1|=0 . 设(k1, k2, …, kt)为(1)的解，分别把A1的第一行的(?k1)倍，第二行的(?k2)倍，…, 第 t 行的(?kt)倍加到第 r 行，得 A1? 分别令 l=t=1, …, m 再考虑到(k1, k2, …, kt)为(1)的解，可得 ?r = k1?1+ k2?2 +…+kt?t 与? 1, ?2, …, ?t, …，?r是极大无关组矛盾. 综合?、? 有 r(A)=r. 而|A2|=|A1|=0, 即 因为D?0 所以 推论1 由定理4知，向量组的秩等于它构成的矩阵的秩，又由于任一矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相等，故由定理4可得： 矩阵 A 的秩就等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩. 设 ?1, ?2, …, ?m 为m个 n 维向量，A 是以它们为行向量构成的 m?n 矩阵，则?1, ?2, …, ?m 线性相关的充要条件是 r(A)m. 当 m=n 时，向量组线性相关的充要条件为 | A |=0. 推论2 特别 推论4 推论3 多于n个的n维向量组一定线性相关. 设一向量组的秩为r， 则向量组中任意 r 个线性无关的向量可构成一极大无关组. 由定理4及其推论可知判断一个向量组的线性相关性的问题可转化为求矩阵的秩. 三、向量组线性相关性的矩阵判别法 若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关； 若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组线性相关. 一般分三种情况： 1) 向量的个数大于向量的维数，则必线性相关； 2) 向量的个数等于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵 A 的行列式：若 |A|?0, 则线性无关，若 | A |=0, 则线性相关； 3) 向量的个数小于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵 A 的秩：若 r(A)等于向量的个数, 则线性无关，若 r(A)小于向量个数, 则线性相关； 例7 判断下列向量组的线性相关性. 1) ?1=(1, 2, 0), ?2=(3, ?1, 2), ?3=(4, ?5, 9), ?4=(9, 7, ?1); 2) ?1=(?1, 5, ?9), ? 2=(3, 0, 1), ? 3=(5, ?5, 1)； 3) ?1=(1, 2, ?1, 0), ? 2=(1, 1, ?1, ?1), ? 3=(3, 4, ?3, ?2) 解：1) 由于43, 所以?1, ?2, ?3, ?4线性相关； 2) 由于 = 140 ? 0 所以 ?1, ? 2, ? 3线性无关； 所以 r(A)=23, 从而可知? 1, ? 2, ? 3 线性相关. 3)? 例8. 求向量组 ?1=(1, ?2, ?1, ?2, 2), ?2=(4, 1, 2, 1, 3), ?3=(1, 1, 1, 1, 1/3), ?4=(2, 5, 4, ?1, 0) 的秩, 并找出它的一个极大无关组. 解： r3?r4 ? 向量组的秩为3且?1, ?2, ?4 为一极大无关组. 定义1 设V是一向量空间, ?1, ?2, …, ?r ?V且满足 (1) ?1, ?2, …, ?r 线性无关; (2) ? ? ?V, ? 可由?1, ?2, …, ?r 线性表出. §5 向量空间的基与坐标 一、 向量空间的基与维数. 则称向量组 ?1, ?2, …, ?r 为向量空间 V 的一组基底(基)，而 r 称为向量空间 V 的维数，记为dimV. 规定：零空间的维数为0, 它没有基. 由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无关组。由于向量组的极大无关组是不唯 一的，所以向量空间的基也是不唯一的。 例1 设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向量组 e1= ( 1, 0, 0, …, 0 ), e2= ( 0, 1, 0, …, 0 ), …, en= ( 0, 0, 0, …, 1