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变系数浅水波方程的精确解
第35 卷第5 期 数学的实践与认识 V o l35 N o 5 2005 年5 月 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y M ay, 2005 变系数浅水波方程的精确解 许晓革 ( 1. 北京航空航天大学理学院, 北京 100083; 北京信息工程学院基础部, 北京 100101) 摘要: 均衡作用法给出了一种求非线性发展方程孤波解的有效方法. 利用该方法, 运用计算机符号计算, 求出了变系数的一般浅水波方程的孤子解. 关键词: 均衡作用法; 计算机符号运算; 变系数的一般浅水波方程 1 引 言 随着科学技术的发展, 非线性科学在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要, 对于 非线性问题的关注也越来越大, 而对这些非线性问题所带来的一些非线性方程的求解一直 是物理学家和数学家关心的核心问题, 尤其是求解这些方程的具有物理意义的孤子解. 到 ( ) 目前为止, 人们已提出了许多求解非线性发展方程 组 的有效方法, 如反散射方法、 变换法、 方法以及均衡作用法[ 1—4 ] , 其中均衡作用法是近年来发展起来的求 Back lund H iro ta 非线性发展方程孤波解的一种十分有效的新方法. 本文利用该方法, 借助于计算机符号运 算, 求出了变系数的一般浅水波方程的孤波解, 常系数的一般浅水波(generalized shallow w ater w ave, 简写为GSWW ) 方程为: U + U U + U U - U - U = 0 ( 1) x x x t x x t t x x x t x x 其中, 为非零常数, 变量源自 近似的古典浅水理论[ 5—6 ] , 在[7 ] 中讨 Bou ssinesq H ietarin ta 论了在 = 或 = 2 下, 方程能表示成 ′的双线性形式. GSWW H iro ta s C lark son and ( ) M an sfield 在[6 ] 中证明了= 或= 2 时方程 1 完全可积, 且用反散射方法证明了此时 它是可解的. 本文讨论更一般的变系数的GSWW 方程: U x x x t + a (x , t) U x U x t + b (x , t) U tU x x - U x t - U x x = 0 (2) 当 a ( , t) ( , t)
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