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随机过程 王建华 Email:wangao@public.wh.hb.cn 第二章 随机过程的概念与基本类型 2.1 随机过程的基本概念 设(?, F,P)为概率空间，T是参数集。若对任意 t ?T ，有随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X(t,e)， t ?T }是(?, F,P)上的随机过程。 简记为{X(t)，t ?T }或{Xt，t ?T } X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I 2.1 随机过程的基本概念 从数学上看，随机过程{X(t,e)， t ?T }是定义在T??上的二元函数。 对固定的t，X(t,e) 是(?, F,P)上的随机变量； 对固定的e，X(t,e) 是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。 2.1 随机过程的基本概念 按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的 按Xt的概率特性分类 正交增量过程、独立增量过程、 马尔可夫过程、平稳过程 2.2 随机过程的分布律和数字特征 随机过程{X(t)，t ?T }的有限维分布函数族 其中 是n维随机变量 (X(t1), X (t2), ?, X (tn))的联合分布函数 2.2 随机过程的分布律和数字特征 有限维分布函数族的性质 (1)对称性 其中 是 的任意排列 (2)相容性 mn 2.2 随机过程的分布律和数字特征 柯尔莫哥洛夫定理 对称、相容的有限维分布函数族F? (?, F,P)上的随机过程{X(t)，t ?T } 有限维特征函数族（分布函数?特征函数） 2.2 随机过程的分布律和数字特征 设{X(t)，t ?T }是随机过程 均值函数 协方差函数 方差函数 2.2 随机过程的分布律和数字特征 相关函数 相关系数函数 显然有关系式 2.2 随机过程的分布律和数字特征 设{X(t)，t ?T }，{Y(t)，t ?T }是两个随机过程，二阶矩函数存在 互协方差函数 互相关函数 显然有关系式 2.2 随机过程的分布律和数字特征 例 X(t)=Ycos(?t)+Zsin(?t), t0，Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=?2。求{X(t),t0}的均值函数和协方差函数。 解 2.2 随机过程的分布律和数字特征 2.2 随机过程的分布律和数字特征 例 X(t)=Y+Zt, t0，Y,Z N(0,1) 求{X(t),t0}的一、二维概率密度族。 解 Y,Z为正态随机变量，则其线性组合X(t)也是正态随机变量 2.2 随机过程的分布律和数字特征 2.2 随机过程的分布律和数字特征 2.2 随机过程的分布律和数字特征 例 X(t)=g1(t+?)， Y(t)=g2(t+?)， g1(t)， g2(t)是周期为L的函数，?~U(0,L) 求互相关函数RXY(t,t+?) 解 2.2 随机过程的分布律和数字特征 2.2 随机过程的分布律和数字特征 例 X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，设W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。 解 2.2 随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 设{Xt，t ?T }，{Yt，t ?T }是取实值的两个随机过程，对t ?T ，Zt = Xt + iYt 则称{Zt，t ?T }是复随机过程。 均值函数 方差函数 2.3 复随机过程 相关函数 协方差函数 显然有关系式 2.3 复随机过程 设{Xt，t ?T }，{Yt，t ?T }是两个复随机过程 互相关函数 互协方差函数 显然有关系式 2.3 复随机过程 复随机过程的协方差函数具有性质 (1)共轭对称性 (2)非负定性 2.3 复随机过程 例 设复随机过程 X1, X2, ?, Xn独立，w1, w2, ?, wn为参数 求{Zt,t?0}的均值函数m(t)和相关函数R(s,t) 解 2.3 复随机过程 2.4 几种重要的随机过程 正交增量过程 设{X(t)，t ?T }是随机过程，且EX(t)=0, EX2(t)+?，若对任意的，t1t2?t3t4?T,有E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))]=0，则称{X(t)，t ?T }为正交增量过程。 若{Xt，t ?T }是正交增量过程，则 2.4 几