[工学]量子力学4-3.pptVIP

§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 表成列矢的形式为 如表象空间的维数为N，则上式是关于 的N次方程，有N个实根。记为 注意：若 有重根，则会出现简并（不同的态 对应相同的能级），简并态还不能唯一确定。 举例 在 的共同表象中，有 试求 Lx 本征值和本征波函数. 设 Lx 本征值为 ，本征波函数为 ，则有： 为计算方便，但注意本征值 上式有非零解（物理解）的条件是系数行列式为零，即： 即： 即： 解得： 所以 Lx 有三个本征值，分别为 -?, 0, ?。将三个本征值分别代入方程 便可得对应的三本征函数。 将 代入上式得方程组： 该方程组应有三个方程，但只有两方程是独立的。 确定波函数还要用归一化条件。 解此方程可得： ，所以 对应的本征值为 -? 的本征波函数为： 同理将 代入可得本征值 0 对应的本征函数： 将 代入可得本征值 ? 对应的本征函数： 4、力学量的表象变换 由于 其中 同理可得 其中 将S矩阵元提到积分号外 为何可以提出来？ 即 其中 S 就是 表象间变换幺正矩阵 其逆变换为： ﹟ 作业： p133-134 15, 18 学习目标： 1、理解量子态矩阵表示，理解量子态的表象变换，即么正变换，理解并会计算变换矩阵。 2、会计算力学理算符在不同表象中的表示。 3、掌握并理解量子力学方程或公式的矩阵表示，特别掌握利用矩阵表示求解本征值和本征函数。 4、能够对力学量的矩阵表示进行表象变换。 5、知道变换矩阵的特点，知道力学量在不同表象中的特点，特别是在自身表象中的特点。 §4.6 狄喇克符号 一、狄喇克符号的引入 量子力学中描写态和力学量，用不同的表象，态（波函数）和力学量算符的具体表现形式也不一样，但量子力学的规律与表象选择无关。 在经典力学中讨论矢量常常不指明坐标系，在量子力学中讨论态矢量和力学量也可以不指明表象，这就是无表象表示。最先是由狄喇克使用的，因此将所用符号叫做狄喇克符号。 微观状态用态矢量表示，在狄喇克符号中态适量分为刃矢和刁矢。 刃矢：符号为 ， 如态矢量 A 表示成 ，又称右矢。 刁矢：符号为 ， 如态矢量 B 表示成 ，又称左矢。 二、刃矢和刁矢的关系 1、刃矢和刁矢是两种性质不同的矢量，两者不能相加减。 2、同种表象中的相应分量互为复共轭。 如： 与 在 Q 表象中的表示分别为： 说明：用狄喇克符号表示态矢量，可以用算符的本征值甚至只用量子数来表明算符的对应本征态。 三、刃矢和刁矢表示量子力学关系式的灵活性 1、刃矢和刁矢标积（内积/点积）的意义 设任意两状态 和 用刃矢表示分别为 和 ，在 Q 表象中的表示为： 则： 其中 称为刃矢 和刁矢 的标积（内积）。标积只能表示为刁矢在左、刃矢在右且相临。 注意：用狄喇克符号表示态矢量，对于任意状态一般不显示任何表象，而若用某算符的本征值或量子数来表示，一般表明的是该算符的本征态。 由于等式 左右两边可以发现： 不论是连续本征值表象中的积分式，还是分离本征值表象中的求和式，最终结果都是一个数，有算符存在时，态矢量不能随便交换位置，但一个数可任意交换位置。 的意义：（1）可以表示 在 上的投影。 （2）可以表示 和 的相关程度，或交叠程度。 （3）若 为某一算符的本征态，则 表示 该算符本征态展开后相应于该本征态的展开系数。 2、算符本征态的正交归一化条件 设算符 对应于分离本征值 的本征态为 ，则其本征态的正交归一化条件： 若算符具有连续本征值，则正交归一化条件表示为： 如坐标和动量算符本征态的正交归一化条件： 3、力学量本征函数系的完全性和封闭性 设 Q 表象具有分离本征值，本征函数表示为： 任意波函数/态矢量 按 Q 表象展开系数为： 即： 则以 左乘上式两边得： 可见 所以： 再以任意态矢量