[工学]第四章插值与曲线拟合.ppt

jkhh Confidential, for review only 4.1 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表 例4.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求 4.4 .1 差商及其性质 定义 函数y= f(x)在区间[xi ,xi+1]上的平均变化率 4.4 .1 差商及其性质 f[xi,xj,xk]是指 差商表 如当n=1时， f(x) = f(x0) + (x- x0)f[x1,x0] + (x- x0)(x-x1) f[x1,x0,x] Nn(x)= f(x0) + (x- x0)f[x1,x0] 例 4.12 已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 解： 4.4.4 等距节点插值 等距节点 xi+1 - xi = h ， 函数在等距节点上的值为y0 , y1, … , yn ，称 ?yi-1= yi - yi-1 为函数f(x) 在[xi-1, xi]上的一阶差分。称 ?2yi-1= ? yi - ? yi-1= yi+1 - 2yi + yi-1 为函数f(x) 在[xi-1, xi+1]上的二阶差分。称 ?kyi-1= ?k-1yi - ?k-1yi-1 为函数f(x) 在[xi-1, xi+k-1]上的 k 阶差分。 4.4.4 等距节点插值 4.4.4 等距节点插值 ?y0= y1 – y0 ?y1= y2 – y1 ?y2= y3 – y2 等距节点情况下xi= x0+ih ，用差分表示差商： 例4.16 计算 f (x) = x3在等距节点0，1，2，3, 4上的各 阶差分值 4.4.4 牛顿前插公式 取间距为h, 等距节点 x0 x1… xn 顺序建立牛顿差商公式 例4.16 按下列数值表用牛顿前插公式求y(-0.5) 的近似值 4.6 分段线性插值 4.7 三次样条插值* 我们知道,给定n+1个节点上的函数值可以作n次插值多项式,但当n较大时,高次插值不仅计算复杂,而且可能出现Runge现象,采用分段插值虽然计算简单、也有一致收敛性,但不能保证整条曲线在连接点处的光滑性 ,如分段线性插值,其图形是锯齿形的折线,虽然连续,但处都是“尖点”,因而一阶导数都不存在,这在实用上,往往不能满足某些工程技术的高精度要求。如在船体、飞机等外形曲线的设计中,不仅要求曲线连续,而且要有二阶光滑度,即有连续的二阶导数。这就要求分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导数。因此有必要寻求一种新的插值方法,这就是样条函数插值法 4.7.1 三次样条函数 定义4.4 .设函数定义在区间?a, b?上，给定n+1个 节点和一组与之对应的函数值，若函数 满足: （1）在每个节点上满足 S(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n) （2）在?a, b?上有连续的二阶导数 （3）在每个小区间? xi,xi+1? (i=0,1,…,n-1) 上是一个三次多项式。 则称S(x)为三次样条插值函数。 其中四个待定系数为 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。 另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 和 在整个插值区间?a,b?上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 上连续， 即满足条件 由样条函数的定义可知,三次样条插值函数S(x)是一 个分段三次多项式,要求出S(x),在每个小区间?xi,xi+1?上 要确定4个待定参数,若用Si(x)表示它在第i个子区间?xi,xi+1?上的表达式，则 （1）?????? 插值条件 (4.29) （2）?????? 连接条件 (4.30) 式(4.29), (4.30)共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上 各加