[工学]第二章有限元基本原理.pptVIP

有限元素法 第二章 有限元法基本原理 线弹性问题的特征 线性弹性问题的静力分析是力学特性分析中最简单、最基本的形式。 线性是指结构的应力与应变的关系(本构关系)呈线性变化，是一类易于求解的问题，也是非线性问题求解的基础。 弹性是指结构在外力撤除后能够完全恢复原有形状的特性，弹性问题的求解也是塑性问题计算的基础。 静力分析则是指结构所受外力是不随时间变化的恒力，其有关的概念和方法也可推广应用到动态分析。 一. 弹性力学中的物理量——（2）应力 （2）应力；当弹性体受到载荷作用，其内部将产生内力。弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力称为应力(stress)，它反映了内力在截面上的分布密度。 为研究弹性体内某一点的应力，从该点附近切出一个微小的六面体，称为微分体，其棱边分别平行于三个坐标轴，如图右所示。 弹性力学中的物理量——（2续）应力 根据切应力互等定律，微分体上六个切应力有如下关系： 因此，微分体上只有六个独立应力，即三个正应力σx、σy、σz和三个切应力。这样，应力的矩阵表示为： 某一点在不同方向截面上的应力是不同的，即同一点在不同方向上的应力不同，但任意斜截面上的应力都可通过上述六个应力求出，同时也可求得该点的最大、最小正应力和切应力。也就是说，这六个应力决定了一点的应力状态，所以称之为该点的应力分量。 应力分量下标的含义 应力分量的下标表明了应力分量的作用平面和作用方向。 例如：σx表示该正应力分量是在垂直于X轴的面上，沿着X轴方向作用的； 剪应力的两个下标中，前一个表示剪应力作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个下标表明剪应力作用方向沿着哪个坐标轴。 如ζxy表示该剪应力分量是在垂直于X轴的面上、沿着y轴方向作用的。。 弹性力学中的物理量——（3）应变 外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及它们之间的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称为正应变(normal strain)，各棱边之间的直角改变则称为切应变(shear strain)。正应变用字母ε表示，下角标表示正应变的方向，如εx，为x方向棱边的正应变。正应变以伸长为正，缩短为负。切应变用字母ν表示，两个下角标表示两个方向的棱边，如νyz为y与z两个方向的棱边之间的直角改变。切应变以直角减小为正，增大为负。 弹性力学中的物理量——（4）位移 弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变化，这种位置的改变称为位移(displacement)，用字母d表示。位移可分解为x, y, z三个坐标轴上的投影x、y、z，称为位移分量。沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。位移的矩阵表示为 {d } = {u v w}T 弹性体发生形变时，各质点的位移不一定相同，因此位移仍为x,、y、z的函数。由各点位移组成的场通常称为位移场。 二. 弹性力学基本方程 弹性力学基本方程描述弹性体内任意点应力，应变，位移及外力之间的关系。 1。平衡方程 弹性体内各点的应力状态不一定相同，因此应力分量是坐标x,y,z的函数，如右图所示。 弹性体受力以后仍处于平衡状态。根据微元体应力和体力之间的平衡关系，得： 弹性力学平衡方程的推导 弹性力学平衡方程的推导（续） 弹性力学基本方程之二 几何方程及推导 弹性力学几何方程及推导（续） 弹性力学几何方程及推导（续） 弹性力学的基本方程之三 物理方程 弹性力学基本方程之三物理方程（续） 弹性力学的基本方程之三 物理方程（续） 最后可以得到如下用矩阵形式表达的物理方程： 弹性力学基本方程的求解 由上述，三类基本方程中包括15个方程，含有6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量，因而原则上可以解出这15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分(称为基本未知量)，再通过基本方程求出其他未知量。根据基本未知量的选法不同，也就产生了三种不同的解题方法——位移法、应力法和混合法。 位移法以三个位移分量作为基本未知量，目前有限元法主要采用这种方法。 三 虚位移原理 变分原理是建立物理问题有限元方程的理论基础，而虚位移原理是能量原理在力学特性分析中的一种具体形式。这是在有限元中建立单元特性方程的一种主要方法。 弹性体的变形与应变能 弹性体在受到外载荷作用发生变形的过程中，将克服内力所做的功作为应变能存储在弹性体内部，当外力除去后，应变能做功，使弹性体恢复原来的状态，如弹簧在外力作用除去后恢复原来的状态。这种能量只与加载的起始位置、终止位置有关,而和加载的过程没有关系。 1 .虚功