[工学]第三章平面问题的直角坐标解答.pptVIP

第三章 平面问题 ——直角坐标解 工程结构的某些特殊形式，经过适当简化和力学模型的抽象处理，可以归结为弹性力学的平面问题。 例如水坝，受拉薄板等。 平面问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的。 目录 §3.1 平面问题的基本方程 §3.2 应力函数－逆解法与半逆解法 §3.3 梁的平面弯曲 §3.4 三角级数解 基于由应力分量求解位移的方法 §3.4 简支梁三角形水坝 容重=密度*加速度,量纲为: 为什么多出两项体力? 应力函数只可能是关于X,Y的三次组合 同学们请自行推导: 本身就是计算体力引起的效应 计算是否满足平衡方程? 如何组合 §3.1 平面问题的基本方程 平面问题 常体力基本方程 平面应变 平面应力 变形与应力 基本方程 应力解法 基本方程 平衡微分方程，几何方程，变形协调方程以及面力边界条件相同。 平面应力与平面应变的不同主要在本构方程， 注意到 二者之间的差别只是一个常数。 因此，不论平面应力还是平面应变问题，若物体截面形状及侧面受力相同，则基本方程和边界条件相同。 平面问题基本方程 注意到 二者未知应力应变关系表达式只是常数的不同。 平面应变与平面应力问题的差别 z向位移w z向正应力sz 正应变分量 w=0 w≠0 平面应力问题的近似性 如果物体截面形状及侧面受力相同，平面应力和平面应变问题的基本方程和边界条件也相同。 因此具有相同的应力解。 但是二者z方向的正应力不同； 应变和位移表达式不同。 平面应力问题解的近似性。 误差与板厚的平方成正比。 薄板问题误差可以忽略不计 平面应力问题解的近似性的理解—— 无奈的选择 误差项 §3.2 应力函数－ 逆解与半逆解法 平面问题应力解的未知函数为3个应力分量 求解2个平衡微分方程和1个变形协调方程 利用应力函数可以简化为一个未知应力函数对应一个基本方程 体力为0 体力为常数 应力函数使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。 f（x, y)称艾雷（Airy）应力函数， 简称应力函数。 基本方程 逆解法 基本思想 对于某些矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程－双调和方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而该应力函数所能解决的问题。 利用逆解法了解应力函数性质。 左边函数对应的应力状态? 线性函数 二次函数 三次函数 四次函数 应力函数 0应力状态 可以删除 均匀应力状态 线性应力状态 二次应力状态 只有4个系数独立 逆解法 二次函数代表了线型应力分布 §3.3 矩形梁的纯弯曲 纯弯曲的应力分布? 特点:线性非 均匀分布 应力函数如何确定 如何确定系数? 边界条件确定系数 边界条件: 按应力函数求解代入边界条件: 积分 整理 等式两边分别X,Y的函数,如何求解? 剪应变为0 约束条件: 代入约束条件,求解积分常数: 与材料力学一致的位移 力学模型 应力函数 应力分析 应力与边界条件 弯曲应力分析 §3.3 简支梁 均布荷载 力学模型:材料力学与弹性力学的区别 材料力学:只考虑截面纵向受力 弹性力学:二向受力 思考题: 如果是均布荷截, 与坐标轴的关系? 对于均布荷载显然只与Y轴有关. 的应力函数表达式? 应力分量的应力函数表达式: 推论: 应力函数表达的相容方程 如何求解相容方程? 最终的目的求应力函数 如何求解相容方程表达式 求解条件:相容方程在整体区域内必须处处有解 推论:相容方程各项系数必须为0,才可能满足条件 如何求解上述函数? 用求解的应力函数表示应力分量 如何求解的应力表达式中积分常数? 求解方法: 1)边界条件 2)约束条件 对称条件: X轴正应力对称,剪应力反对称,所以有: E=F=G=0 剩下A\B\C\D\H\K六个积分常数 边界条件: 联立方程:求A,B,C,D 剩下:求H,K,如何求解? 条件:端部力的平衡,力矩平衡 K=0 代入积分常数得到各项应力分量表达式 (f) 变换一下应力表达式形式 与材料力学公式比较 1\正应力 2\剪应力 与材料力学比较的讨论: 1、考虑了Y方向的正应力（又称为挤压应力） 2、剪应力与材料力学的表达式完全相同，为什么？ 3、轴向正应力与材料力学的多了一项，其它均相同 1）多出的一项称弹性力学修正项 2）修正的影响因素 注意：第三项与X无关，是一个恒定值 思考题： 1、为什么说短梁应进行修正？ 2、按弹性力学解，在两端是否存在存在水平力，如何解释？ 力学模型 边界条件与应力 水坝应力分析