[工学]第三章稳定性和代数稳定判据.pptVIP

* * 例：下图是某控制系统的方块图，若系统以 的角频率作等幅振荡，试确定此时K和 的值。 解：系统的闭环特征方程为 * * 劳斯行列表为： 系统作等幅振荡，所以存在一对虚根。且 ，这相当于劳斯阵列中有一行全为0，在本例中，要求 行为0，而第一列其他元素全大于0，所以有： * * ① 由辅助方程 ，可以解得一对共轭虚根： ② 所以， 联立式①和②得： * * 不用解方程，用劳斯阵列表可判断线性系统的稳定性，这是劳斯判据的优点。但是，它不能给出系统的品质指标，这是劳斯判据的不足。 * * 小结 线性系统稳定的充要条件 劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳斯阵的排列和判稳方法） * 第五节需2课时 * * 第五节 系统的稳定性和代数稳定判据 * * 一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。 稳定的充要条件和属性 稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。否则为不稳定的系统。 * * 线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部，则系统的暂态分量随时间增加逐渐消失为零，这种系统是稳定的。如果有一个或一个以上的闭环特征根位于s平面右半部或虚轴上，则此系统是不稳定的。 稳定的充要条件和属性 稳定区 不稳定区 临界稳定 S平面 * * 充要条件说明 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长； 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。 如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。 从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。 稳定区 不稳定区 临界稳定 S平面 * * * * 充要条件说明 注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。 设线性系统的特征方程为 则该系统稳定的必要条件为：1、特征多项式所有的系数符号相同；2、特征多项式所有系数都不为零。 （无缺项）如果系统的特征方程成不满足上述条件，则可立即断定系统是不稳定的。如果满足上述条件，系统不一定是稳定的，因为它只是必要条件。 * * 但对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。 * * 二、 劳斯稳定性判据 （一）劳斯判据 设线性系统的特征方程为 劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成。 第一行为1，3，5，…项系数组成， 第二行为2，4，6，…项系数组成。 劳斯判据 劳斯稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列各元素严格为正。反之，如果第一列出现小于或等于零的元素，系统不稳定，且第一列各元素符号的改变次数，代表特征方程正实部根的数目。 * * * * 例：系统特征方程为 ，试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，确定正实部根的个数。 解：列劳斯表，即 结论：系统是不稳定的，且第一列数字元素有两次变号，故系统有两个正实部的根。 * * 例：系统特征方程为 ，试用劳斯判据判别系统是否稳定。 解：列劳斯表，即 结论：系统是不稳定的，且第一列数字元素有两次变号，故系统有两个正实部的根。 为了简化计算，用某