[工学]第2章_控制系统的动态数学模型_23拉氏变换及反变换.pptVIP

《控制工程基础》 第2章 控制系统的动态数学模型 2.3 拉氏变换及反变换 （Laplace transform and its inverse transform） 2.3.1?拉氏变换的定义 2.3.2 典型函数（常用信号）的氏变换 2.3.3 拉普拉斯变换的性质（定理） 2.3.4 拉氏反变换 2.3.5 应用拉氏变换求解微分方程 * 拉普拉斯变换是描述和分析连续、线性、时不变系统的重要数学工具。 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域之间的联系，而拉氏变换建立了时域和复数域之间的联系。 拉氏变换的优点： （1）求解简化； （2）把微分、积分方程转化为代数方程； （3）将复杂函数转化为简单的初等函数； （4）将卷积转化为乘法运算。 设函数 f(t) 满足: ① t 0 时 f(t)=0； ② t≥0 时，f(t)分段连续，且 ， 则拉普拉斯变换的定义为： f (t) — 原函数（时间函数） F(s) — 象函数，s是复变数 （1）单位阶跃函数 构成一变换对 （2）指数函数 构成一变换对 （3）正弦函数和余弦函数 欧拉公式 同理可得 （4）t 的幂函数 构成一变换对 （5）单位脉冲函数 构成一变换对 （6）单位速度函数（单位斜坡函数） 构成一变换对 （7）单位加速度函数（单位抛物线函数） 构成一变换对 （1）线性叠加原理 若F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)] ，则有 （2）微分定理 若F (s)=L[f(t)]， 则有 根据微分定理，可以将微分方程变换为代数方程。 （3）积分定理 若F (s)=L[f(t)]， 则有 （4）衰减定理（位移定理） 【例1】 【例2】 （5）延时定理 （6）初值定理 （7）终值定理 （8）时间尺度改变的象函数 （9）t·x(t) 的象函数（乘幂定理）（复微分定理） （10）x(t)/t 的象函数（略） （11）周期函数的象函数（略） （12）卷积定理 拉普拉斯反变换的理论公式： 拉普拉斯反变换的部分分式展开法： 在控制系统中，F(s)一般为如下有理分式的形式: （１） F(s) 中只有不同的实数极点时 解：将F(s)展开成部分分式形式 （2） F(s) 中含有共轭复数极点时 解：求方程s2+s+1=0的根 （3） F(s) 中含有多重极点时 根据复微分定理（乘幂定理）： 可得部分分式的拉普拉斯反变换为： *