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一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 练习 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 C为反对称矩阵，且 所以B为对称矩阵， 命题得证. 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵 方阵的行列式 方阵的幂 　　（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. 　　（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. 注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同. 下一页 上一页 返回 注：可利用方阵的行列式的性质求行列式。 行列式的乘积： 下一页 上一页 返回 成立的充要条件是什么? １、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） １、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 例１ 设 例2 故 解 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 规定： 注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则 AB＝0推不出A＝0或B＝0 AC＝BC且C不为0,推不出A=B (不满足消去律) 但也有例外，比如设 则有 例3 计算下列乘积： 解 解 =( ） 例 解 用数学归纳法证明。 当n=2时 假设当k＝n－1时成立，现证明k＝n时也成立。 下一页 上一页 返回 解 练习 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例5 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 3、对称阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 对称矩阵的特点是: 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。 反对称矩阵的特点是: 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符 号相反,且主对角线上各元素均为0 。 下一页 上一页 返回 例 若A为奇数阶反对称矩阵，求其行列式的值。 解：设 因为n为奇数，得 即奇数阶反对称矩阵行列式为零。 当A,B均为对称矩阵时，A＋B，kA仍为对称矩 阵。均为反对称矩阵时，有类似的结论。 注：