1.3.1二项式定理..pptVIP

1．3　二项式定理 1．3.1　二项式定理 1．理解用组合知识推导二项式定理，弄清其运用范围． 2．理解通项的意义并会灵活应用． 3．区分项的系数与二项式系数． 4．会正用、逆用定理来解决一些简单的问题． 本节重点：二项式定理的推导及通项公式． 本节难点：如何利用计数原理推导出二项展开式． 1．二项式定理 公式(a＋b)n＝ 所表示的规律叫做二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有 项． (2)二项式系数： ； (3)二项展开式的通项公式： (其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)它是展开式的第 项． [分析]　可直接应用二项式定理展开，也可先化简再展开． [点评]　解法2形式较为简单，在展开二项式之前应根据二项式的结构特征进行必要变形，这是使运算求得简化的途径．如求(1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解． [点评]　解决这类问题要注意分析其结构特点，a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，且a、b的指数和等于二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中，二项式中的每一项只有两项的乘积，故需添加“1”凑成二项展开式的形式． 设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于 (　　) A．x5　　　　　　　　 B．(x＋2)5 C．(x－1)5 D．(x＋1)5 [答案]　B [解析]　P＝[1＋(x＋1)]5＝(x＋2)5，故选B. [点评]　二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为零的方法求得常数项． [分析]　首先由“前三项系数成等差数列”，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的要求解答每一问．每问都与二项展开式的通项公式有关． [点评]　利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项……等等．其通常解法就是据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件． [答案]　C [点评]　要注意区分二项式系数与项的系数：二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关． [答案]　6 [例6]　试判断7777－1能否被19整除？ [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①76是19的倍数； ②7777＝(76＋1)77可用二项式定理展开．解答本题可用二项式定理求得(76＋1)77－1能被19整除． [点评]　在利用二项式定理证明整除问题或求余数的问题时要进行合理的变形，常用的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底数写成两数之和，其中一数是除数或其倍数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n＋3＋7n＋5天后的那一天是星期几？(提示：转化为寻求对于任意自然数n,23n＋3＋7n＋5被7除的余数) [答案]　C [答案]　B 3．(2010·江西文，3)(1－x)10展开式中x3项的系数为 (　　) A．－720 B．720 C．120 D．－120 [答案]　D [答案]　672 [答案]　28 将n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9. ∵a0，∴a＝3. 金太阳新课标资源网 * 金太阳新课标资源网 老师都说好! n＋1 k＋1 [答案]　A * * * *