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计算机数学基础(上)第2编 集 合 论 第四章 二元关系与函数 本章主要内容： 关系的概念 关系的运算 关系的性质 等价关系与偏序关系 函数 重点：关系矩阵与关系图、关系的运算、 关系的性质 难点：关系的性质、等价关系与偏序关系 4.1 关系的概念 一、基本概念 1。二元关系 设R是一个有序对集合，则称R是一个二元关系。 如 则称aRb，如 则称 2。集合上的二元关系 以集合A×B的任一子集所定义的二元关系R称为 A到B的二元关系。若A=B，则称为A上的二元关系。 3。定义域和值域 设R是A到B的二元关系，则称A为R的定义域，记 作Dom(R)，B为R的值域，记作Ran(R)。 4。空关系和全关系 集合A定义在φ的关系称为空关系， 集合A中定义在R=A×A上的关系称为全关系。 5。恒等关系 定义在 上的关系称为恒等关系。 ⑴恒等关系中仅包括这样的有序对，有序对中的 第一元素和第二元素相同。 ⑵恒等关系中需包括A中的所有的元素构成的这 样的有序对。 二、关系矩阵和关系图 表示关系的方法有三种：集合表达式、关系矩阵和关系图。 1．关系矩阵 设 则可用一个m×n矩阵MR来表示从A到B的关系R 具体做法为： 作一个m×n矩阵MR ，m行的编号从上到下依次为 ，n列的编号从左到右依次为 如 则 ，如 则 当A=B时，矩阵MR为方阵，通常不再标明各行列 所表示的元素名称。 例7 设：A={a,b,c,d}，B={x,y,z}， R={a,x,a,z,b,y,c,z,d,y}，求关系矩阵MR 解： 2。关系图 ⑴对于从A到B的关系，可作如下图示。 用左边一列结点表示A中的元素，右边一列结点表示B 中的元素，标明元素的名称。有关系的元素之间用一 条有向弧连接，方向从A中的元素指向B中的元素。 ⑵对于A上的关系，可作如下图示。 在平面上用等距结点表示A中的元素，标明各元素的 名称，若ai与aj有关系，则画一条从ai指向aj的有向弧 若ai与自身有关系，则在结点ai处画一个自回路，表明 方向。 例 设：A={1,2,3,4}，R={1,1,1,2,2,3,2,4,3,3， 4,2}，求关系矩阵MR和关系图。 解： [2000年1月化简解答题13(2)] 设集合A={1,2,3,4,5}，定义A上的二元关系 试写出R的集合表达式和关系矩阵。 解： [2001年7月计算题15] 设集合X={a,b,c,d}，定义X上的 二元关系R的关系图如右， 试写出R的表达式和关系矩阵。 解： 4.2 关系的运算 一、关系的集合运算 关系的集合运算有关系的并、交、差、补和对 称差。 1。关系的并、交 由关系R、S中所有的有序对组成的集合称为关 系R与S的并，记作 。 由关系R、S中相同的有序对组成的集合称为关 系R与S的交，记作 。 例如R={1,1,1,3,2,3}，S={1,2,2,3,3,1} 2。关系的差 由所有属于关系R但不属于S的有序对组成的集 合称为关系R与S的差，记作R－S。 例如R={1,1,1,3,2,3}，S={1,2,2,3,3,1} R－S={1,1,1,3}，S－R={1,2,3,1} 3。关系的补 由笛卡尔积中所有不属于R的有序对组成的集合 称为关系R的补，记作 ~R。 例如，A={1,2,3}， R={1,1,1,3,2,3}， ~R={1,2,2,1,2,2,3,1,3,2,3,3} 二、复合关系 1。复合关系的定义 设R是集合A到B的二元关系，aiRbj，S是集合B到 C的二元关系，bjSck，则ai与ck之间存在一个二元关系 T，表示为T=R·S 例如，A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5}，C={1,2,3}