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连续傅立叶变换 一维连续傅里叶变换 设 f(x)为实变量x的连续函数， f(x)的傅里叶变换表示为F{f(x)},定义为： 二维连续傅里叶变换 如果f(x,y)连续可积，并且F(μ,v)可积，则存在以下傅里叶变换－反变换对，其中μ,v为频率变量： 假设连续函数f(x),通过取N个等间隔采样点 　被离散化为一个序列{f(0),f(1),f(2), … ,f(N-1)}， x＝0,1,2,…N-1，变为离散变量。 则函数f(x)的离散傅立叶变换对为： f(x,y)的离散二维傅里叶变换对为: 在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是M=N 因此f(x,y)的离散二维傅里叶变换对多采用下面的形式: 离散傅立叶变换的显示 问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据描述上相当于实数两倍。 为此，希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。 这就产生了离散余弦（DCT）变换。 概述： ⑴当f(x)或f(x,y)为偶函数时，变换计算公式只有余弦项。 ⑵一个任意函数采样从0,1,2,…,N-1，若向负方向折叠形成2N点采样偶函数，就可进行2N的偶函数傅立叶变换。 ⑶余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法 离散余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。 这是由于DCT的信息集中能力和计算复杂性综合得比较好而得到了较多的应用。 傅里叶变换将原信号分解成一系列由正弦波构成的基本函数。这些函数在频率域中按各自不同的振幅、频率和相位，有规则地无限扩展。然而，图像中的许多重要特性（比如边缘），则是高度局部化的。虽然傅立叶变换能够用各种正弦函数的组合表示任何形式的特征函数，但复杂的函数组合将使其频谱呈现混乱状态，不易显示特征。为了克服这一缺点，可将原信号分解成一系列有限宽度波形构成的基本函数，这些基本函数在频率和位置上都是变化的。 与傅里叶变换相比较，小波变换是空间/时间和频率的局部变换，能有效地从信号中提取信息。 小波变换通过伸缩和平移运算功能对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多困难问题。 在信号与信息处理学科中，小波分析是时间－尺度分析和多分辨率分析的一种新技术，在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩等方面都取得了有科学意义和应用价值的成果。 用小波变换进行图像分解 用小波变换压缩图像 离散余弦变换的 Matlab 实现 dct2 函数功能：二维 DCT 变换格式：B=dct2(A)  idct2 函数功能：DCT 反变换格式：B=idct2(A)??????? %对autumn.tif文件计算二维DCT变换 RGB = imread(autumn.tif);subplot(211); imshow(RGB); I = rgb2gray(RGB); %真彩色图像转换成灰度图像 J = dct2(I); %计算二维DCT变换 subplot(212); imshow(log(abs(J)),[]) %图像大部分能量集中在上左角处 colormap(jet(64)), colorbar; figure; J(abs(J) 10) = 0; %把变换矩阵中小于10的值置换为0，然后用idct2重构图像 K = idct2(J)/255;imshow(K) 三、小波变换 问题的提出 连续小波变换 离散小波变换 小波重构 离散余弦变换的 Matlab 实现函数 像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。 小波变换也可以理解为用一系列小波函数代替傅立叶变换的谐波函数进行傅立叶变换的结果。 正弦波从负无穷一直延续到正无穷，是平滑而且是可预测的； 而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。 连续小波变换（cwt） 从它们的形状可以看出，对于变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，更能描述信号局部特征。 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform,CWT） 若ψ(t)是一个实函数，它的频谱ψ(ω)满足： 则ψ(t)被称为小波基函数(basic function) 一组小波基函数表示为{ψa,b(t)}，它们是通过平移和伸缩小波基函数来构造的。 式中变量b是其沿t轴的平移量，变量a是函数的伸缩尺度。 基本小波函数ψ(t)的伸缩和平移操作的含义  伸缩：简单地说， 伸缩就是压缩或伸展基本小波,伸缩系数越小,则小波越窄，如图所示： 平移。简单地说，平移就是小波的延迟或超前。在数