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2012综合题四（面积问题综合） 1、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点. （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积； （3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S . ①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ③设是②中函数S的最大值，那么 = . 解：（1）令，则； 令则．∴． ∵二次函数的图象过点， ∴可设二次函数的关系式为 又∵该函数图象过点． ∴解之，得，∴所求二次函数的关系式为 （2）∵ = ∴顶点M的坐标为 过点M作MF轴于F ∴ = ∴四边形AOCM的面积为10 （3）①不存在DE∥OC ∵若DE∥OC，则点DE应分别在线段OACA上，此时在中，设点E的坐标为∴，∴ ∵， ∴ ∴ ∵2，不满足． ∴不存在．②根据题意得DE两点相遇的时间为 （秒）现分情况讨论如下： 当时，； 当时，设点E的坐标为 ∴，∴ ∴ 当2 时，设点E的坐标为，类似可得 设点D的坐标为 ∴， ∴ ∴ = ③ 2、如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 解：（1）C(3，2)，D(1，3)； 2分 （2）设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c， 解得 4分 ∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋1； 5分 （3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置）时 ∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）． 当0＜ t ≤1时，如图1． B′F＝AA′＝t ∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F，∴＝． ∴B ′G＝·B ′F＝×t＝t 正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B ′FG的面积S△B′FG ∴S＝S△B′FG＝B ′F·B ′G＝×t×t＝t 2 7分 ②当点C运动到x轴上时 ∵Rt△BCC ′∽Rt△∠AOB，∴＝． ∴CC ′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2（秒）． 当1＜ t ≤2时，如图2． ∵A ′B ′＝AB＝，∴A ′F＝t－． ∴A ′G＝ ∵B ′H＝t ∴S＝S梯形A′B′HG＝(A ′G＋B ′H)·A ′B ′ ＝(＋t)· ＝t－ 9分 ③当点D运动到x轴上时 DD′＝ t＝＝3（秒） 当2＜ t ≤3时，如图3． ∵A ′G＝ ∴GD′＝－＝ ∴D′H＝－ ∴S△D′GH ＝()(－)＝()2 ∴S＝S正方形A′B′C′D′ －S△D′GH ＝()2－()2 ＝－t 2＋t－ 11分 （4）如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积． ∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝ ∴S阴影＝S矩形BB′C′C 13分 ＝BB′·BC ＝× ＝15 14分 3、如图，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为，0． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由． （1）对称轴＝－2，即x＝－2； 2分0，得x 2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3． ∵点B的坐标为，0点A的坐标为，0．（2）点P的坐标，，，．（）．时，点C的坐标为，．AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3．DE∥CO，AED∽△AOC．＝，即＝．DE＝1．DE∥CO，DE≠CO，∴四边形DEOC．DEOC＝(1＋3)×2＝4．直线CM交轴于点．直线CM把DEOC分成面积相等的两部分CO·FO＝2．×3FO＝2，∴FO＝．点的坐标为，．直线CM经过点C，设直线CM的解析式为．，k＋3＝0．．直线CM的解析式为x＋3．省市. (1)一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式 （2）设点P是在第一象限内抛物线上的