概率论4.3.pptVIP

* * 前面介绍了随机变量的数学期望。数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特征。 但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，还需了解其他数字特征。 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 方差的引例 又如，甲、乙两门大炮同时向一目标射击10次，其落点距目标的位置如图： 中心 中心 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。 为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值偏离其中心(均值)的程度。 这个数字特征就是我们要介绍的方差 方 差 Variance 定义：设X是一随机变量，若E[X-E(X)]2 存在，则称其为X的方差，记成 D(X)或者 var(X) ，即 均方差（标准差） 均方差与X有相同的量纲 非负实数 方差越大，说明X 的取值比较分散，E(X)的代表性就差。 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度，即体现随机变量取值离散程度或波动程度。 方差越小，说明X 的取值越集中，E(X)的代表性就越好； 方差D(X)≥0，且D(X)=0 X以概率1取常数。 X为离散型， P(X=xk)=pk 由定义D(X)= E[X-E(X)]2知， 方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 X为连续型， f (x)为密度 方差的计算公式 Proof. 公式变形： 方差的计算公式 计算D(X)：只需计算两类期望E(X), E(X2) 步骤: Step 1: 计算期望 E(X) Step 2: 计算期望 E(X2) Step 3: 套用公式：D(X)= E(X2) -[E(X)]2 X:一维离散型 X:一维连续型 (X,Y):二维离散型 (X,Y):二维连续型 求D(X) 例1：设连续型随机变量X 的密度函数为: 解：Step 1: 计算期望 E(X) Step 2: 计算期望 E(X2) Step 3: 套用公式 例2：设X为某加油站在一天开始时贮存的油量，Y 为一天中卖出的油量(当然Y≤X)。设(X,Y)具有概率密度函数 【注】二维随机变量(X,Y)，求其中某一个随机变量的数字特征 有两种方法: 求出边缘分布，利用一维随机变量的方式来做； 利用二维联合分布来做. 这里1表明1个容积单位，求每日卖出的油量Y 的期望与方差。 解法一：求出Y的边缘概率密度： 已知 ，求E(Y)，D(Y) 解法二：利用二维联合概率密度来做 已知 ，求E(Y)，D(Y) 同理： 例3：设随机变量X的概率密度为: 又已知E(X)=0.5, D(X)=0.15, 求a，b，c. 分析： 0-1分布： 常见分布的数学期望与方差 二项分布：若X ~B(n, p)，则 E(X)= p， D(X)= pq X P 泊松分布：若X ~ π(λ)，则 其中p+q=1 均匀分布： 若X~U[a, b]，则 常见分布的数学期望与方差 指数分布：若X ~E(λ)，则 常见分布的数学期望与方差 正态分布： 若 ，则 方差的性质 设C是常数，则 D(C)=0; 设C是常数，则 D(CX)=C2D(X); 若X与Y 独立，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y); D(aX+bY)= a2D(X)+b2D(Y); 可推广为：若X1, X2, …, Xn相互独立，则 D(X-Y)= D(X)+D(Y); D(aX+b)= a2D(X) 独立是条件 期望性质对比： E(C)=C， E(CX)=CE(X)， E(X+Y)= E(X)+E(Y); 若X与Y 独立，则 E(XY)=E(X)·E(Y) 方差的性质 若随机变量X与Y 独立，则 D(XY)=? 所以 D(XY) ≥D(X)·D(Y) X与Y独立 X2与Y2独立 证明：设X为随机变量，C为任意常数，则 D(X) ≤E[(X-C)2] 证明： 说明：随机变量X的所有可能取值与其均值E (X) 的偏离程度是最小的. 例1：设随机变量X的期望和方差分别为E(X)和D(X)， 且D(X) 0，求 的期望与方差. P99的例4，例5