4_1线性方程组的表示、消元法.pptVIP

第四章 向量与线性方程组 §４.1 线性方程组的表示、消元法 一、概念的引入 二、消元法解线性方程组 思考题 思考题解答 * * 一、概念的引入 二、消元法解线性方程组 定义1 令 借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为矩阵形式： 线性方程组研究的主要问题为： （1）线性方程组是否有解？ （2）线性方程组如有解，有多少个解? （3）线性方程组如有解，如何求解？如解 有无穷多，如何表示所有的解？ 例1 将齐次线性方程组 改写成矩阵形式和向量形式。 解：矩阵形式： 向量形式： 通过观察，容易发现 是方程组的零解. 而 是方程组的非零解。 例2 假设 的解， 的解，证明： 证明：把解代入原方程组： 其它的证明类似。 引例 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 解 用“回代”的方法求出解： 于是解得 (2) 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （　与　相互替换） （以　　　替换　） （以　　　　替换　） 3．上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 称以上三种变换为线性方程组的初等变换. 　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (方程组（1）的增广矩阵）的变换． 问题： (1)为什么经过一系列的初等行变换以后得到的新 的方程组的解为原方程组的解。我们需要给出它 的理论依据。 (2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么条 件下方程组无解？ 消元法解线性方程组的理论依据： 证明： 例3 解线性方程组 解：写出增广矩阵 ，对其进行初等行变换化简： 以 为增广矩阵的线性方程组有一矛盾方程0=47，从而原方程组无解。 注：若原方程组与同解方程组中出现矛盾方程，则原方程组无解。 例4 用消元法解线性方程组 解： 所以原方程组的解为 ，与用 Cramer法则所得结果一样。 例5 解齐次线性方程组AX=0，其中系数矩阵 解： 与原方程组同解的齐次线性方程组BX=0的一般形式为， 很显然对于任意的 都能解出 方程组的解为 注：从上面的例子可以看出，求解线性方程组 分为以下几步： 1. 对增广矩阵作初等行变换； 2. 分析作了初等行变换后的增广矩阵，若最后 一个不为零的方程为 ，则原方程组 无解； 3. 若最后一个不为零的方程有解，解出部分未知量并代入前一个方程求解，解出部分未知量，再代入较前一个方程求解，依次类推，最后可求出原方程组的全部解。 * * *