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高数A（下）试题 一、填空题 1．设，则 。 2．二重积分交换积分次序可化为 。 3．设L是连接的线段，则曲线积分。 4．幂级数的收敛区间为。 5．一阶微分方程的通解为。 二、在点（0，0）处（ 极限不存在 ）。 2．二次积分化为极坐标形式的二次积分为（ ）。 3．若是圆周的逆时针方向，则曲线积分（ ）。 4．若级数条件收敛，则级数（必发散）。 5．以为周期的函数在上的表达式为，其傅里叶级数的和函数为则（ ）。 三、，其中具有二阶连续偏导数，求。 解： 2、（7分）利用极坐标计算二重积分，其中。 解： = 3、（7分）利用高斯公式计算曲面积分，其中为上半球面，取下侧。 解：补上曲面：，取上则 有高斯公式得 = =3 4、利用格林公式计算，其中L是从(4,0)沿上半圆周到原点(0,0)的弧段。 解：补上OA:从0到4。设L与OA所围成的区域为D， 则 = 5、求微分方程的通解及的一个特解。 解：方程的特征方程为，其根为， 故微分方程的通解为 不是特征方程的根，故设，代入原方程可得 的一个特解为 6、求函数在点A（1，1）处沿着从点A（1，1）到点B（2，2）的方向的方向导数及梯度。 解：从点A（1，1）到点B（2，2）的方向的方向余弦为 在点A（1，1）处 7、求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数。 解：，级数的收敛半径。 当时，幂级数都发散，故幂级数的收敛域为（-1，1）， 设幂级数在区间（-1，1）内的和函数为，则 = 8、设曲面在点A处的切平面平行于平面，求该曲面在点A处的切平面及法线方程。 解：平面的法向量为（2，-2，-1），曲面在点A处的法向量为，由条件知，二向量平行，得所以点A(1,1,0)………4分 所求的平面方程为 所求的法线方程为 四、，证明：若级数收敛，则级数也收敛；若级数发散，则级数也发散。 证：由知 再由比较审敛法及级数性质知若级数收敛，则级数也收敛； 若级数发散，则级数也发散。 2、设函数，求并证明在 点（0，0）处可微。 证：由定义得 所以 而，所以 所以，即在点（0，0）处可微。