弯曲-机械设计基础教学幻灯片讲义.pptVIP

图7-9　简支梁在力偶作用下的内力图 　　(2) 求剪力、弯矩方程。由于集中力偶作用，梁被分成两段，现分别求解。　　AC段：如图7-9(b)所示，剪力方程为　　　　　　∑Fy=0，　FA－FQ1=0得 　　弯矩方程为 　　CB段：如图7-9(c)所示，剪力方程为　　　　　　∑Fy=0，　FA－FQ2=0得 　　弯矩方程为　　(3) 画剪力图，如图7-9(d)所示，弯矩图如图7-9(e)所示。 　　　　7.3　纯弯曲时的正应力7.3.1　纯弯曲的概念　　一般情况下，梁在发生弯曲变形时，其横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲变形称为剪切弯曲(也称横力弯曲)。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力(剪力为零)，则这类弯曲变形称为纯弯曲。 图7-10　纯弯曲的概念 　　为了研究纯弯曲梁的变形及横截面上的应力，我们取一矩形截面梁，在梁的侧面画上平行于轴线和垂直于轴线的直线，形成许多正方形的网格，如图7-11(a)所示，然后在梁的两端施加一对矩为M的力偶，使之产生纯弯曲变形，如图7-11(b)所示。 图7-11　纯弯曲变形分析 　　由于变形的连续性，在伸长纤维和缩短纤维之间必存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，这一纵向纤维层称为中性层，如图7-12中的阴影部分。 图7-12　中性层与中性轴 7.3.2　纯弯曲梁横截面上的正应力　　为了研究纯弯曲梁横截面上正应力的分布规律，从梁上截取任意微段dx，如图7-13(a)所示(可参看图7-11(a))。　　假设变形后如图7-13(b)所示。横截面1—1和2—2变形后仍为平面，但两者形成dθ的夹角；中性层O1O2长度不变，但变成曲线(面)，ρ为其曲率半径。 图7-13　弯曲应力分析 　　距中性层y处的纵向线(层)a1a2也由直线变为曲线，其绝对变形为其相对变形(应变)为 (a) 　　式(a)表明：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变ε与各点到中性轴的距离y成正比。将式(a)代入虎克定律表达式σ=Eε，得  (b)　　式(b)表明：截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。在中性轴等远处各点的正应力相等，正应力的分布如图7-14所示。 图7-14　梁横截面上的正应力分布 　　在中性轴(y＝0处)上各点的正应力为零，在中性轴的两侧，其各点的应力分别为拉应力和压应力。在离中性轴最远处(y=ymax)，产生最大的正应力σmax。　　根据正应力的分布规律(图7-14)，可得或 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(c) 7.3.3　最大正应力的计算公式　　横截面上的弯矩M是截面上各部分内力对中性轴z的力矩之和。在图7-15中任意微面积dA上的微内力为σ·dA，它对中性轴z的力矩为σ · dA · y，于是横截面上的弯矩M为将式(c)代入上式，则有 图7-15　弯曲正应力与弯矩的关系 令 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7-1)则横截面上的最大弯曲正应力为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7-2)式中，M为横截面上的弯矩，ymax为横截面上最远点到中性轴的距离。 式中，M为横截面上的弯矩，ymax为横截面上最远点到中性轴的距离。　　将式(7-1)可以改写为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7-3)式中， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7-4) 7.3.4　截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz　　构件的承载能力与截面的几何性质有密切的关系。例如在拉伸与压缩的应力及变形的计算中，要用到横截面面积A；在扭转的应力与变形计算中，要用到横截面对圆心的极惯性矩IP和抗扭截面模量WP。弯曲应力计算中要用到截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz等几何量。为了便于计算时查用，将常用梁截面的轴惯性矩和抗弯截面模量列于表7-1中。 　　1. 矩形截面惯性矩的计算方法　　简单截面图形的惯性矩可以通过积分方法求得。设矩形截面高为h，宽为b，如图7-16所示。取微面积dA=bdy，则 图7-16　矩形截面惯性矩的计算 　　2. 组合截面的惯性矩　　工程实际中梁的截面形状可能很复杂，这些复杂截面通常是由几个简单的截面形状组合构成的。组合截面的中性轴的惯性矩等于各个